¿Es esta operación binaria conmutativa?

Question

En un conjunto $X$ definimos una operación binaria $*$ tal que

$$\forall x, y \in X,\ (x*y)*y=y*(y*x)=x.$$

Es $*$ conmutativa y por qué?

Answer 1

Aquí hay una prueba que utiliza el probador de teoremas automatizado Prover9 .

Como humano, encuentro la salida de estas cosas difícil de leer, pero encuentro que pueden ayudar por (a) sugerir un paso intermedio importante, y (b) dar una prueba (incluso si es ilegible), lo que significa que el resultado que estamos tratando de probar es realmente verdadero, y es posible que haya una prueba con un número de pasos que podría ser entendido por los humanos. (Además, hay un "factor de frescura" en las pruebas automatizadas).

Aquí está la entrada:

formulas(assumptions).

(x * y) * y = x.
y * (y * x) = x.

end_of_list.

formulas(goals).

x * y = y * x.

end_of_list.

y una versión recortada de la salida:

============================== PROOF =================================

% Proof 1 at 0.01 (+ 0.00) seconds.
% Length of proof is 7.
% Level of proof is 3.
% Maximum clause weight is 7.
% Given clauses 4.

1 x * y = y * x # label(non_clause) # label(goal).  [goal].
2 (x * y) * y = x.  [assumption].
3 x * (x * y) = y.  [assumption].
4 c2 * c1 != c1 * c2.  [deny(1)].
5 x * (y * x) = y.  [para(3(a,1),2(a,1,1))].
7 x * y = y * x.  [para(2(a,1),5(a,1,2))].
8 $F.  [resolve(7,a,4,a)].

============================== end of proof ==========================

Answer 2

Sí, es conmutativo. Aquí está el por qué: $$ x * y = y*(y*(x*y)) = y * ((x * (x*y))*(x*y)) = y *x. $$ Primero uso la identidad para multiplicar por $y$ a la izquierda dos veces, y luego reemplazo la segunda $y$ por $x*(x*y)$ . Entonces utilizamos el hecho de que $$ (x * (x * y))*(x*y) = x $$ para eliminar el trozo más grande.

Espero que eso ayude,

Answer 3

Ah, creo que tengo un contraejemplo:

Consideremos el monoide libre $F_2$ en 2 cartas $a,b$ (con la palabra vacía ' $1$ '), y considerar su cociente $$X:=F_2/(w^2\sim 1) $$ para todas las palabras $w\in F_2$ . Entonces, básicamente $X$ contiene aquellas palabras que no tienen ninguna subcadena de la forma $ww$ y si aparecen en una concatenación, se anulan sin más. Por ejemplo $aba\cdot ab= a$ .

Actualización: no es bueno, ya que va a ser un grupo, $xy=yx$ seguirá de todo $x^2=1$ ...