Límite de aspecto aterrador con una respuesta elegante.

Question

Este problema fue publicada la mitad de hace un año por Pierre Mounir en un Facebook de grupo y hasta ahora no recibió respuestas. Dado que la mayoría de los problemas a los que yo vi eran increíbles puedo apostar este es vale la pena el tiempo. Wolfram devuelve la respuesta a la se $2$, que es bastante elegante por su mirada.

Me acordé de ti ayer y le dio a probar de nuevo a tomar por simplicidad $k=1$ (yo no tenía ninguna posibilidad con un mayor número). También mi idea era llegar de alguna manera a un punto donde la puedo usar $\lim\limits_{f\to 0}\frac{a^f-1}{f}=\ln a$, por lo que empezó como: $$\lim_{n\to \infty} {\frac{5^\frac{n!}{(2n)!}-4^\frac{1}{n!}}{3^\frac{n!}{(2n)!}-2^\frac{1}{n!}}}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{4}{2}\right)^{\frac{1}{n!}}\left(\frac{5^\frac{n!}{(2n)!}}{4^{\frac1{n!}}}-1\right)\left(\frac{3^\frac{n!}{(2n)!}}{2^{\frac1{n!}}}-1\right)^{-1}$$ $$=\lim_{n\to \infty} \underbrace{\sqrt[n!]{2}}_{\to 1}\left(\sqrt[n!]{\frac{5^\frac{1}{(2n)!}}{4}}-1\right)\left(\sqrt[n!]{\frac{3^\frac{1}{(2n)!}}{2}}-1\right)^{-1}$$ Bueno, sí $\frac{5^\frac{1}{(2n)!}}{4}$ y el otro en el denominador es igual a $1$, pero todavía no veo cómo utilizar ese límite. También traté de tomar un logaritmo en ambos lados o usar L'hospital, pero se ve como un callejón sin salida.

Me encantaría si alguien puede encontrar el truco para solucionar este límite y la tierra un poco de ayuda.

Answer 1

Esta es una extensión de mi comentario en una respuesta.

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Si la expresión bajo el límite es de la forma $(A-B) /(C-D) $ , a continuación, todos los de $A, B, C, D$ tienden a $1$ y podemos escribir $$A-B=B\cdot\frac{\exp(\log A-\log B) - 1}{\log A - \log B} \cdot(\log A - \log B) $$ The first two factors tend to $1$ and hence the numerator can be replaced by $\registro A-\log B$. Procediendo de manera similar podemos ver que la expresión debajo del límite puede ser simplificada como cada término se sustituye por su logaritmo.

La expresión resultante es $$\frac{a\log 5-2b\log 2}{a\log 3 - b\log 2}$$ where $a=(n!) ^{k} /(2kn)!,b=(n!)^{-k}$ and clearly $a/b=(n!) ^{2k}/(2kn)!$ tends to $0$ so that the desired limit is $2$.

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El comportamiento limitante de $a_n=(n!) ^{2 k} /(2kn)!$ puede concluir a través de la prueba de razón. Tenemos $$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)^{2k}}{(2kn+1)\cdots(2kn+2k)}\to\frac{1}{(2k)^{2k}}<1$$ and hence $a_n\to 0$.