Pregunta sobre el conmutador de la matriz

Question

Esta es una buena pregunta que escuché en el IRC, cortesía de "tmyklebu".

Dejemos que $A$ , $B$ y $C$ sea $2\times 2$ matrices complejas. Definir el conmutador $[X,Y]=XY-YX$ para cualquier matriz $X$ y $Y$ . Prueba

$$[[A,B]^2,C]=0.$$

Answer 1

Dado que la traza es aditiva, y $\mathrm{trace}(XY)=\mathrm{trace}(YX)$ se deduce que la traza de cualquier conmutador de matrices es cero.

Así, el rastro de $[A,B]$ es $0$ por lo que tiene valores propios $\lambda$ y $-\lambda$ .

Caso 1. $\lambda\neq 0$ . Entonces $[A,B]$ es diagonalizable, y por tanto también lo es $[A,B]^2$ (misma matriz conjugadora). Pero los valores propios de $[A,B]^2$ son $(\lambda)^2$ y $(-\lambda)^2$ Así que $[A,B]^2$ es diagonalizable con todos los valores propios iguales; por lo tanto $[A,B]^2$ es en realidad un múltiplo escalar de la identidad, y por tanto conmuta con toda matriz. Por lo tanto, $[[A,B]^2,C] = 0$ .

Caso 2. $\lambda=0$ . Si $[A,B]$ es diagonalizable, entonces es la matriz cero, y por tanto $[A,B]^2=0$ . Si $[A,B]$ no es diagonalizable, entonces su forma canónica de Jordan es $$\left(\begin{array}{cc}0 &1\\ 0 & 0 \end{array}\right),$$ y por lo tanto $[A,B]^2=0$ . De cualquier manera, $[A,B]^2=0$ Por lo tanto $[A,B]^2$ conmuta con cualquier matriz, por lo que $[[A,B]^2,C]=0$ .

Answer 2

Aquí hay un argumento mejor (no publicado a medianoche...) que muestra que el resultado se mantiene cualquier campo: no necesitamos que las matrices sean complejas.

Como en la otra respuesta, el rastro de $[A,B]$ es $0$ . Por lo tanto, el polinomio característico de $[A,B]$ es $x^2+\det[A,B]$ . Por el Teorema de Cayley-Hamilton, $$[A,B]^2 = -\det[A,B]I.$$ Por lo tanto, $[A,B]^2$ es una matriz escalar, y por lo tanto se encuentra en el centro de $M_{2\times 2}(\mathbf{F})$ . Concluimos que $[[A,B]^2,C]=0$ para cualquier matriz $C\in M_{2\times 2}(\mathbf{F})$ .