Evaluar la integral $\int_0^{\pi} \frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}$ donde $ab\neq 0$

Question

Tengo algunos problemas para evaluar la integral $\int_0^{\pi} \frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}$ . He encontrado una solución en mi libro de texto de la siguiente manera:

La integral $\int \frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}=\frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan{x})+C$ Por lo tanto, por las fórmulas de Newton-Leibniz, $\int_0^{\pi} \frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}= \frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan{x})|_0^{\pi}=0$ .

Pero no tiene sentido. $F(x)=\frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan{x})$ no es continua cuando $x=\frac{\pi}{2}$ .

¿Estoy en lo cierto? ¿O cómo evaluar esta integral?

Y un ejemplo de Cauchy. $\int_0^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}} dx=\arctan(\sec{x})|_0^{\frac{3\pi}{4}}=-\arctan\sqrt{2}-\frac{\pi}{4}.$

El segundo $=$ se equivoca porque $\arctan(\sec{x})$ no es continua cuando $x=\frac{\pi}{2}$ por lo que no podemos utilizar la fórmula de Newton-Leibniz.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

El integrante es $\pi$ -periódica e incluso alrededor de $0$ . Por lo tanto,

$$\begin{align} \int_0^\pi \frac{1}{a^2\sin^2(x)+b^2\cos^2(x)}\,dx&=2\int_0^{\pi/2}\frac{1}{a^2\sin^2(x)+b^2\cos^2(x)}\,dx\\\\ &=2\int_0^{\pi/2}\frac{\sec^2(x)}{a^2\tan^2(x)+b^2}\,dx\\\\ &=2\int_0^\infty \frac{1}{a^2u^2+b^2}\,du \end{align}$$

¿Puedes terminar ahora?

Answer 2

Supongamos que $ab \ne 0$ . Si se diferencia $$F(x;a,b) = \frac{1}{ab} \tan^{-1} \left( \frac{a}{b} \tan x \right),$$ se obtiene $$f(x;a,b) = \frac{1}{ab} \left(\frac{1}{1 + \frac{a^2}{b^2} \tan^2 x}\right) \cdot \frac{a}{b} \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} = \frac{1}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x},$$ así que al menos esto funciona para todos $x$ para lo cual $F(x)$ está bien definida; sin embargo, tenga en cuenta que $F(\pi/2;a,b)$ no es un punto de este tipo, y este punto se encuentra en el intervalo $(0,\pi)$ . ¿Qué ocurre en este caso? Sabemos que $f$ es periódica con periodo $\pi$ y es suave para todos los reales. La cuestión es que la tangente inversa en $F$ admite cualquier número de ángulos posibles para los que $$\tan (ab F(x;a,b)) = \frac{a}{b} \tan x,$$ cada uno de los cuales difiere en algún múltiplo entero de $\pi$ . Por tanto, es posible elegir una antiderivada cuyo comportamiento sea continuo en $(0,\pi)$ .

Por ejemplo: ¿qué pasa con $$F^*(x;a,b) = \frac{1}{ab} \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \tan \left( x - \frac{\pi}{2} \right)\right)?$$ Si se diferencia esta función, también se evalúa a $f$ . Pero no tenemos ningún problema con la discontinuidad, ya que cuando $x \in (0,\pi)$ , $\tan (x - \pi/2) \in (-\infty, \infty)$ y hemos "ocultado" efectivamente la discontinuidad en los puntos finales del intervalo de integración. La realidad, por supuesto, es que es posible definir una función estrictamente creciente $G(x;a,b)$ que es suave en todas partes al igual que $f$ cuya derivada es igual a $f$ en todas partes; sólo tenemos que tener cuidado con la forma de especificar la evaluación de la función trigonométrica inversa.

Vale la pena mencionar que mover la discontinuidad a los puntos finales del intervalo de integración no resuelve completamente el problema de la evaluación de la integral definida, ya que ahora tienes una integral impropia. Sin embargo, nos ayuda a entender cómo la integral definida no puede sea cero, y por qué se evaluó a cero cuando usamos $F$ en los puntos finales.