Supongamos que tenemos una función $f$ $bx-ay$ donde $a$ y $b$ son dos constantes reales, si tenemos por ejemplo $e^{bx-ay}$ obviamente es una función de $bx-ay$.
¿Podemos encontrar una función $f$ tal que: $f(bx-ay) = ax-by$? en otras palabras ¿qué operaciones debemos funcionar en $bx-ay$ a $ax-by$? ¿Cómo puedo proceder?
No. He aquí por qué. Considere la posibilidad de $a = 1, b = -2$ y ver el$x = 0, y = 2$$x = 1, y = 0$. Para cada uno de estos $bx - ay = -2$. Pero para la primera, $ax - by = 4$, mientras que para el segundo $ax - by = 1$.
Ya que la función $f$ sólo puede tomar un valor para el argumento de $-2$ (debido a la definición de "función"), se debe tomar el valor de $4$ o $1$, pero no tanto.
Un argumento similar funciona para casi cualquier par de valores de $a$$b$; la única excepción de que puedo ver es $a = b = 0$, cuando es fácil construir $f$ (pero no muy interesante: es el en todas partes-la función cero).
Aquí está mi solución:
podemos poner$z = bx-ay $ y$w = ax-by$ Así que tenemos:$$f(z) = w$ $ de la relación anterior que obtenemos: \begin{cases} x = \dfrac{aw-bz}{a^2-b^2}\\ y = \dfrac{bw-az}{a^2-b^2} \end {cases}
si$w$ no depende de$z$ entonces$\dfrac{\partial w}{\partial z}=0$
por lo tanto:$$\dfrac{\partial w }{\partial z} = \dfrac{\partial w }{\partial x }\dfrac{\partial x}{\partial z }+\dfrac{\partial w}{\partial y}\dfrac{\partial y }{\partial z } = 0$ $
tenemos:$\dfrac{\partial w}{\partial x } = a$,$\dfrac{\partial w}{\partial y } = -b$,$\dfrac{\partial x}{\partial z } = \dfrac{-b }{a^2-b^2 }$ y$\dfrac{\partial y }{\partial z } = \dfrac{-a }{a^2-b^2 }$
Por lo tanto:$$\dfrac{-ab }{a^2-b^2 }+\dfrac{ab }{a^2-b^2 }=0$ $ Esto es válido solo si$a^2\neq b^2 \Rightarrow a = \pm b$
La conclusión $ax-by$ depende de$bx-ay$ solo si$a = \pm b$
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