Esto parece bastante ambicioso para la mayoría de los universitarios de los Estados Unidos de álgebra intermedia cursos, que normalmente no son de crédito de los cursos de nivelación que se encuentran por debajo del nivel de álgebra universitaria y cursos de precálculo. Sin embargo, aquí están algunas de las cosas que yo he utilizado en los cursos de precálculo que podría de uso.
A ver lo que la gráfica de algo como $yx^2 + 2y^3 = 3x + 3y$ se ve como el uso de una (estándar implícita-incapaces), calculadora gráfica, resolver por $x$ en términos de $y$ usando la fórmula cuadrática (o $y$ en términos de $x$ cuando sea posible, pero me voy a dar un ejemplo de que no tenemos la opción de resolver para $y$) y, a continuación, gráfico de ambas soluciones, simultáneamente, como si $x$ y $y$ fueron cambiados. Es decir, si usted está utilizando uno de los TI calculadoras gráficas, a continuación, introduzca para y1= y y2= el siguiente:
y1 = (3+(9-4x(2x^3-3x))^(1/2))/(2x)
y2 = (3-(9-4x(2x^3-3x))^(1/2))/(2x)
(Nota para los editores: por Favor, no Látex de las expresiones anteriores, como lo que me has dado es lo que la calculadora de entrada debe ser.)
Para explicar el hecho de que se está graficando la relación inversa, rotar lo que se ve en 90 grados hacia la izquierda y, a continuación, reflejan el girado resultado a través del eje vertical. Equivalentemente, se puede reflejar lo que usted consulte acerca de la línea de $y=x$, pero sospecho que lo que propuse es más fácil para los estudiantes a llevar a cabo.
He aquí un ejemplo más elaborado. Supongamos que queremos saber lo que la gráfica de $y^4 - 4xy^3 + 2y^2 + 4xy + 1 = 0$ parece. (Sí, sé sobre el polígono de Newton método, pero no vamos a ir allí.) Aunque esto puede ser resuelto por $y$ en términos de $x$, es bastante difícil de hacer y el resultado es algo difícil de interpretar gráficamente con la mano. Usted obtendrá el 4 expresiones diferentes,$y = x \pm \sqrt{x^2 - 1} \pm \sqrt{x^2 - x} \pm \sqrt{x^2 + x}$, donde el 4 de signo permutaciones son $(+,+,+),$ $(+,-,-)$, $(-,+,-)$, y $(-,-,+)$. Por otro lado, es fácil de resolver para $x$ en términos de $y$ y el resultado es $x = \frac{\left(y^2+1\right)^2}{4y\left(y^2-1\right)}$, la cual se puede graficar a mano usando métodos estándar para la graficación de funciones racionales.
Para las gráficas de funciones polinómicas, especialmente cuando se administra como (o poner fácilmente a) factor lineal y real irreductible cuadráticas con coeficientes reales (y probablemente el mejor, principalmente, evitar el uso real irreductible cuadráticas, al menos al principio), se puede hablar de cómo sus gráficos localmente vistazo a cada una de las $x$intercepto en y de cómo sus gráficos aproximadamente mirada global mediante "orden de contacto con el $x$-eje" nociones (que usted no tiene que definir con precisión, de curso) y comportamiento. Por ejemplo, desde la $y = (x+2)^3 (2x+1)^2 x (3-x)$ tiene la forma $y = (x)^3(2x)^2(x)(-x) + \;$ inferiores a los términos de orden, o $y = -4x^7 + \;$ inferiores a los términos de orden, una visión ampliada de la gráfica se verá como la gráfica de $y = -4x^7$, por lo que la gráfica "entra en la parte superior izquierda del cuadrante 2" y "salidas en la parte inferior derecha del cuadrante 4". También, la gráfica pasa por el $x$-eje en $x=-2$ "en un cúbicos de moda", de modo que a nivel local en este cero de la gráfica se parece a una versión (traducido y reflejado, el último debido a que en los que va de izquierda a derecha, la gráfica pasa de positivo a $y$-valores negativos $y$-valores) de la gráfica de $y = x^3$. El mismo tipo de análisis conduce a lo que muestra el gráfico localmente se ve igual que en las $x$-intercepta, que voy a asumir que usted sabe de qué estoy hablando, por ahora, ya que este es (o al menos lo era) bastante estándar, un tema en los cursos de precálculo.
En el caso de las funciones racionales, un tema que podría ser investigado es lineal fraccional de transformaciones (como se les llama en el análisis complejo, o cocientes de linear (= afín) funciones, por ellos mismos, a través de la lente de precálculo transformaciones de la gráfica de $y = \frac{1}{x}$. Aunque definitivamente, usted no desee considerar el caso general, aquí está el caso general versión, donde estoy asumiendo $c \neq 0$. (La primera igualdad viene de la 1-paso largo división de cálculo).
$\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d}$
$= \frac{a}{c} + \frac{\frac{b}{c} - \frac{ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$
$= \frac{a}{c} + \frac{1}{c^2}(bc-ad)\left[ \frac{1}{1 - \left(-\frac{d}{c}\right)}\right]$
Tenga en cuenta que esta muestra la gráfica de $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ puede ser obtenido a partir de la gráfica de $y = \frac{1}{x}$ por una horizontal de la traducción a la derecha por $-\frac{d}{c}$ unidades, seguido por un tramo vertical por un factor de $\frac{1}{c^2}(bc-ad)$, seguida de una traslación vertical por $\frac{a}{c}$ unidades. Para una posible referencia útil, véase Edward C. Wallace, "las Investigaciones en torno a involuciones", Profesor de Matemáticas 81 (1988), pp 578-579. [Ver también estas letras en el Lector Reflexiones columna: Thomas Edwards (MT 83, p. 496), Larry Hoehm (MT 83, p. 496), Andrew Berry (MT 95, p. 406), y Sidney H. Kung (MT 97, páginas 227 y 242).] Mientras yo estoy en el tema, he aquí un "álgebra intermedia apropiada" situación en la que una lineal fraccional de transformación surge. Para que el número o números de $x$, si alguna, podemos encontrar un número cuya suma con $x$ es igual a su producto con $x$? Si se denota el número deseado por $y$, entonces la condición se vuelve $x + y = xy$ o $y = \frac{x}{x-1}$.
