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Question

Hoy en día, la CalcBee problemas de muestra fue lanzado. El siguiente problema era mi creación y quería ver cómo muchas de las soluciones que la gente puede venir para arriba con. El resultado es muy bonito y pensé que sería interesante ver varias soluciones para esto si es que existen. Tenga en cuenta que, en el concurso real, ninguno de los problemas que va a ser tan difícil. Este se entiende como un reto, ya fracciones parciales no exactamente el trabajo de inmediato.

Encontrar $ \displaystyle\int \frac {1-x^2}{1+3x^2+x^4} \, \mathrm{d}x $.

Answer 1

Primero sustituya$x=e^y$ ("$dx=e^y dy$"):$$\int\frac{1-x^2}{1+3x^2+x^4}dx=\int\frac{e^y-e^{3y}}{1+3e^{2y}+e^{4y}}dy=\int\frac{e^{-y}-e^y}{e^{-2y}+3+e^{2y}}dy=\int\frac{-2\sinh y}{(2\cosh y)^2+1}dy$ $ Ahora sustituya$z=2\cosh y$ ("$dz = 2\sinh y\,dy$"):$$\int\frac{-2\sinh y}{(2\cosh y)^2+1}dy=\int\frac{-1}{z^2+1}dz=\text{arccot}\,z$ $ Así que la respuesta debería ser$$\text{arccot}(2\cosh y)=\text{arccot}(e^y+e^{-y})=\text{arccot}(x+1/x)$ $ y de hecho lo es, como puede verificarse tomando el derivado.

Answer 2

INSINUACIÓN:

Divide el numerador y el denominador por$x^2$

y como $\int\left(1/x^2-1\right)dx=-x-\dfrac1x$

establece$x+\dfrac1x=u$ y$\dfrac1{x^2}+3+x^2=\left(x+\dfrac1x\right)^2-2+3$

Answer 3

Para el registro, para facilitar el acceso, aquí está mi solución.

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Observe que el grado del denominador es el doble que el grado del numerador, por lo que hay una posibilidad de que la respuesta es de la forma $ \arctan \left( f(x) \right) $ donde $f(x)$ es una función racional. Así que probarlo. Si este es el caso, tenemos $$ \frac {f'(x)}{1 + \left[ f(x) \right]^2} = \frac {1-x^2}{1+3x^2+x^4}. $$Then, let $ f(x) = \frac {p(x)}{q(x)} $, where $p(x)$ and $q(x)$ are polynomials with degree $$ and $b$, respectively. Then, $$ f'(x) = \frac {q(x) p'(x) - p(x) q'(x)}{\left[ q(x) \right]^2}, $$where the numerator has degree less than or equal to $a+b-1$ and the denominator has degree $2b$. Therefore, $b=2$ and $un=1$. Then, $$ f(x) = \frac {rx + s}{tx^2 + ux + v} \implies f'(x) = \frac {(rv-su) - 2stx - rtx^2}{t^2 x^4 + 2tux^3 + (2tv+u^2) x^2 + 2uvx + v^2}. $$Then, the derivative of $ \arctan \left( f(x) \right) $ is $$ \frac {f'(x)}{1 + \left[ f(x) \right]^2} = \frac {\frac {(rv-su) - 2stx - rtx^2}{t^2 x^4 + 2tux^3 + (2tv+u^2) x^2 + 2uvx + v^2}}{1 + \left( \frac {rx+s}{tx^2 + ux + v} \right)^2}. $$We find that $p(x)=x$ and $q(x)=1+x^2$, so our answer is $$ \boxed {\arctan \left( \frac {x}{1+x^2} \right)}. $$