solución periódica de$x''-\ (1-\ x^2-\ (x')^2)\ x'+x=0$

Question

Supongamos que la ecuación diferencial$$x''-\ (1-\ x^2-\ (x')^2)\ x'+x=0$ $ quiero discutir sobre la solución periódica no constante de la misma.

¿Alguien puede dar una pista de cómo empezar a pensar? Y tiene solución periódica.

Mis intentos: lo cambié al sistema de ecuación diferencial por debajo de$$ x_1'=x_2$$ $$x_2'=-x_1+x_2-(x_1^2+x_2^2)x_2$$ I know that if it has perodic solution there exist $ t_1$ and $ t_2$ such that $ x_1 (t_1) = 0 $ and $ x_2 (t_2) = 0 $

Answer 1

En términos de$$Z = x^2 + x'^2 - 1$ $ la ecuación se convierte en

PS

que tiene la solución$$Z' = -2x'^2Z$. Ahora, si$Z(t) = Z(0)e^{-2\int_0^t x'^2 dt}$ es periódico, entonces$x$ debe ser periódico, pero esto solo es posible (ya que$Z$ es una función creciente) si$\int_0^t x'^2 dt$ o$x'\equiv 0$. Las únicas soluciones periódicas no constantes por lo tanto satisfacen

PS

y obtenemos que todas las soluciones periódicas no constantes están en el formulario$Z(0) = 0$ para alguna constante$$Z\equiv 0\iff\frac{x'}{1-x^2} = \pm 1 \iff \arcsin(x) = \pm t + C$.