Utilizar una extensión de forzamiento $V[G]$ para determinar las propiedades de $V$ .

Question

Es bien sabido que se puede utilizar el forzamiento para cambiar el valor de verdad de varias frases ( $CH$ , $\Diamond$ etc.). Sin embargo, a menudo cuando se realiza una construcción de este tipo sobre un modelo $V$ La acción es generalmente en $V[G]$ (o algún modelo interno del mismo - como cuando violamos $AC$ en $HOD(x)^{V[G]}$ ); queremos averiguar qué ocurre en $V[G]$ a efectos de, por ejemplo, una prueba de consistencia relativa.

Sin embargo, hay construcciones que también nos hablan de lo que ocurre en $V$ (posiblemente en relación con $V[G]$ ), ya que cuando consideramos incrustaciones de la forma $j: V \longrightarrow M \subseteq V[G]$ . Estas incrustaciones pueden tener puntos críticos bastante pequeños (incluso tan pequeños como $\omega_1$ ), lo que nos da una nueva perspectiva sobre los pequeños conjuntos incontables de nuestro modelo original $V$ .

Mi pregunta:

¿Hay otros construcciones forzadas (es decir, no incrustaciones genéricas) que nos dicen cuál es la estructura de nuestro modelo original $V$ es como con respecto a incontable conjuntos (así que no en el sentido trivial de mostrar la consistencia de los códigos de prueba en $V_\omega$ ) y cómo $V$ se refiere a $V[G]$ ? Por decirlo de otro modo, ¿existen otras construcciones que nos permitan ver la estructura de $V$ más claramente de $V[G]$ ?

Answer 1

Ejemplos con ultrapoderes genéricos:

(1) (Gititk, Shelah) Si existe una extensión total de la medida de Lebesgue, entonces existe un conjunto de Sierpinski (conjunto nulo no Lebesgue de tamaño $\aleph_1$ cada uno de cuyos subconjuntos nulos es contable).

Esquema de la prueba: Forzar con el ideal nulo de la extensión total y dejar que $j: V \to M \subseteq V[G]$ sea la incrustación ultrapotente con punto crítico $\kappa$ . Utilizando un argumento genérico de ultrapoder, Gitik y Shelah han demostrado que este forzamiento debe añadir al menos $\aleph_1$ reales al azar. Este conjunto de reales aleatorios también está en $M$ y es un conjunto de Sierpinski. Por elementalidad, dicho conjunto también existe en $V$ .

(2) Para todo conjunto de reales existe un subconjunto de la misma medida exterior que evita la distancia racional.

Idea de prueba: Asumir que falla y conseguir que la restricción del ideal nulo a algún conjunto no nulo sea isomorfa a un producto de forzamiento aleatorio y de Cohen. Utilizar ultrapoderes genéricos para argumentar que esto es imposible.

Ejemplo de uso de la absolutización de Shoenfield:

(3) (Mycielski) Si $A$ es un subconjunto compacto del plano de área positiva, entonces existen conjuntos perfectos $P, Q$ tal que $P$ tiene una longitud positiva y $P \times Q \subseteq A$ .

Prueba: Ver el siguiente mathoverflow Correo electrónico: .

Answer 2

Mi familia favorita de ejemplos procede del cálculo de particiones. La prueba original del teorema de Baumgartner-Hajnal $\omega_1\to (\alpha)^2_n$ para todo lo que es finito $ n $ y todos los contables $\alpha $ apeló a lo absoluto de lo bien fundado. El conjunto homogéneo se encontró en una extensión donde $\mathsf{MA} $ se mantiene, y eso significa que un determinado árbol del modelo básico está mal fundado en la extensión.

Esta idea se ha utilizado en una variedad de resultados similares: En la prueba de Schipperus de la versión topológica del teorema de Baumgartner-Hajnal, en la prueba de Todorcevic de la extensión del resultado BH a posets no especiales, en varios de los resultados parciales hacia la conjetura $\omega_1\to (\alpha, n)^3$ para todo lo contable $ \alpha $ y finito $ n $ etc.