Demostrar que $(G, \circ)$ es un grupo si $a\circ x = b$ y $x\circ a = b$ tienen soluciones únicas

Question

Tengo algunas dificultades con una tarea de álgebra. Supongo que es trivial y muy fácil, pero no consigo averiguar cómo resolverla.

Tengo un conjunto $G$ y una operación binaria sobre ella, sea $\circ$ . Tengo que la operación es asociativa y que las ecuaciones $a\circ x = b$ y $x\circ a = b$ tienen soluciones únicas. Tengo que demostrar que $(G, \circ)$ es un grupo.

Ya tengo que la operación es binaria y asociativa, por lo que tengo que demostrar que hay un único elemento identidad y un único elemento inverso y saldrá de las ecuaciones, pero ¿cómo exactamente?

Answer 1

Por si acaso, podemos hacerlo incluso sin la suposición de unicidad.

Asumido: que la multiplicación es asociativa y que las ecuaciones $ax=b$ y $xa=b$ tienen al menos una solución para todos $a$ y $b$ .

1. Si $e$ y $a$ están dadas de tal manera que $ea=a$ entonces $e$ es un identificador izquierdo para cada elemento. Prueba : Dado $b$ dejar $x$ sea tal que $ax=b$ . Entonces $eb=eax=ax=b$ .

2. Del mismo modo, todo lo que es un a la derecha identidad para algo es una identidad correcta para todo.

3. Si $l$ es una identidad izquierda para algo y $r$ es una identidad correcta para algo, entonces $l=r$ . Prueba: Por (1) y (2) $lr=l$ y $lr=r$ .

4. Hay un elemento de identidad única. A saber, elegir cualquier elemento $a$ y que $e$ resolver $ea=a$ . Entonces, por (3) la solución de $ax=a$ debe ser igual a esto $e$ y entonces por (3) de nuevo, todo lo que es una identidad derecha o izquierda de algo debe ser $e$ .

5. La unicidad de los inversos se deduce ahora por el argumento habitual: Si $xa=ya=e$ , entonces dejemos que $z$ sea tal que $az=e$ y luego $x=xe=xaz=yaz=ye=y$ así como $z=ez=xaz=xe=x$ .

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Ahora que lo pienso, esta es una caracterización más agradable de los grupos que la habitual de las identidades e inversas. Un grupo es simplemente algo con una operación asociativa, de manera que todo puede convertirse en cualquier otra cosa multiplicándolo por algo de la izquierda o de la derecha, según elijamos. Tomando prestada una terminología de la teoría de grafos, podríamos llamarlo transitivo a la izquierda y derecho-transitivo operación asociativa. ( Editar: Pero resulta que esto ya tiene un nombre: Semigrupo simple de izquierda y semigrupo simple derecho -- y lo que demuestra lo anterior es que los grupos son exactamente aquellos semigrupos que son simples tanto a la izquierda como a la derecha).

Answer 2

Sugerencia En primer lugar, hay que tener en cuenta que de la unicidad de las soluciones se deduce que la operación es cancelativa: $ac=bc$ (así como $ca=cb$ ) implica $a=b$ .

La ecuación $ax = a$ tiene una solución $e$ . Multiplicar la identidad $ae=a$ a la derecha por $a$ y luego cancelar $a$ a la izquierda obtenemos $ea=a$ es decir $e$ es una unidad para $a$ . Multiplicación y anulación por otro elemento $b$ demostramos que $e$ es una unidad para todos $G$ . A continuación, a partir de las ecuaciones $ax = e$ y $xa = e$ obtenemos elementos inversos...

Answer 3

Es un poco sutil demostrar la existencia de un elemento de identidad. Para cada $g \in G$ existen elementos únicos $l_g, r_g$ (identidades izquierda/derecha para $g$ ) tal que $l_g g = g$ y $g r_g = g$ . El objetivo es demostrar que $l_g = r_g = l_{g'} = r_{g'}$ para cualquier dos $g, g' \in G$ .

Usted tiene $g l_g g = g^2$ y como la ecuación $x g = g^2$ tiene una solución única, tenemos $g l_g = g$ . Por lo tanto, utilizando la singularidad de nuevo, $l_g = r_g$ . Llamemos a este elemento $e_g$ que tiene la propiedad de que $e_g g = g e_g = g$ .

Ahora debemos demostrar que $e_g = e_{g'}$ para $g, g' \in G$ . Tenemos $g e_g g' = g g' = g e_{g'} g'$ . Dado que la ecuación $x g' = g g'$ tiene una solución única, $g e_g = g e_{g'}$ ; de forma similar, ya que $g x = g e_{g}$ tiene una solución única, $e_g = e_{g'}$ .

Answer 4

Dejemos que $g\in G$ . Por hipótesis, se sabe que la ecuación $gx=g$ tiene una solución única y $xg=g$ tiene una solución única. ¿Qué puede decir de estas dos soluciones? Sea $x_0$ sea la solución de la primera ecuación. Por hipótesis, las ecuaciones $gx=x_0$ y $xg=x_0$ tienen soluciones únicas. ¿Qué puede decir de estas dos soluciones?