Supongamos que $x,y>0$ son positivos reales tales que a $y$ se define implícitamente en términos de $x$ a través de: $$ \log\left(\frac{x+y}{x}\right)=x+y.\la etiqueta{$\star$} $$ Me gustaría estudiar el signo de $y''$.
Intento: Escribir ($\star$) como $$ \log(x+y)-\log(x)=x+y. $$ Diferenciar ambos lados w.r.t. $x$ rendimientos $$ \frac{1+y'}{x+y}-\frac{1}{x}=1+y'\etiqueta{$\star\star$} $$ que puede resolverse para obtener $$ 1+y'=\frac{x+y}{x(1-x-y)}\cdot $$ Diferenciar ambos lados de ($\star\star$) w.r.t. $x$ para obtener $$ \frac{(x+y)y"-(1+y')^2}{(x+y)^2}+\frac{1}{x^2}=y" $$ que, después de la toma de Mathematica, mientras que el uso de $1+y'$ se encuentra por encima, le da $$ y"=\frac{(x+y-2) (x+y)^2}{x^2 (x+y-1)^3} $$ que claramente puede tomar valores positivos y negativos dependiendo $x+y$. De hecho, mirando hacia atrás en ($\star$), que libremente puede variar $x+y$: a ha $x+y=r>0$, simplemente $$ x=e^{-r}r,\quad y=(1-e^{-r})r. $$ Es mi intento aquí razonable para usted? La razón por la que no estoy seguro es de que si me alimento ($\star$) directamente a Mathematica, tengo $$ y=-x-\text{ProductLog}[-x] $$ donde (según el Archivo de Ayuda) $\text{ProductLog}[z]$ da la principal solución para$w$$z=we^w$. Luego tracé $$ \partial_x(\partial_x(-x-\text{ProductLog}[-x])) $$ y vio algo que sólo es positivo:
¿Qué está pasando? Por favor alguien puede explicar esta aparente discrepancia?