Función Odd Integral?

Question

Sé si $f$ es una función impar, entonces

$$\int_{-L}^L f(x)\:dx = 0$$

mi pregunta es, es a la inversa necesariamente cierto? Intuitivamente, creo que debería ser el de que, suponiendo que la integral con los simétrica límites es cero, de alguna manera se puede mostrar $f(-x) = -f(x)$, pero no estoy seguro de cómo ir sobre ella.

Mi intento:

$$\int_{-L}^L f(x)\:dx = \int_{-L}^{0} f(x) \: dx + \int_{0}^{L} f(x) \: dx = 0$$.

Así,

$$\int_{-L}^{0} f(x) \: dx = - \int_{0}^{L} f(x) \: dx$$

¿Cómo puedo usar esto para mostrar $f(-x) = -f(x)$, o estoy equivocado pensar lo contrario es necesariamente cierto?

Puedo hacerlo desde mi último paso,

$$\int_{0}^{L} f(-x) \: dx = - \int_{0}^{L} f(x) \: dx$$.

Por lo tanto $f(-x) = -f(x)$, o es que no esta permitido?

Answer 1

En primer lugar, supongamos que el $L$ es fijo. Sin perder generalidad, podemos tomar $L=1$.

Luego tomar $$f(x)=\begin{cases}1,&x\in [-1,0],\\1-4x,&x\in[0,1].\end{cases}$$ Obviously, $\int_{-1}^1f(x)dx=0$, yet $f$ no es impar.

Segundo, si ponemos la condición de que $\int_{-L}^Lf(x)dx=0$ por cada $L>0$, la situación cambia. Supongamos por simplicidad que $f$ es continua, entonces la antiderivada $F:x\to\int_{0}^xf(s)ds$ $C^1$ función.

Podemos decir que $$\int_{-L}^Lf(x)dx=0\Rightarrow \forall L>0\ \ F(L)-F(-L)=0,$$hence the derivative with respect to $L$ is also zero:$$\forall L>0\ \ F'(L)+F'(-L)=0\Rightarrow \forall L>0\ \ f(L)+f(-L)=0,$$therefore $f$ es impar.