Es un subgrupo de un grupo fundamental de un grupo fundamental?

Question

Deje $(X,\ast)$ ser una base topológica del espacio (tal vez la ruta de acceso conectado o no, no sé si esto será relevante para la solución).

Deje $\pi:=\pi_1(X,\ast)$ ser su grupo fundamental y deje $H$ ser cualquier subgrupo no trivial de $\pi_1$ (supongamos que existe uno).

Mi pregunta es: ¿hay algún subespacio $Y\subset X$ tal que $H=\pi_1(Y,\ast)$?

En resumen: dado un subgrupo de un grupo fundamental, es también un grupo fundamental de algunos subespacio del espacio total?

Answer 1

Estoy interpretando a tu pregunta de la siguiente manera: cuando usted escribe $H = \pi_1(Y,\ast)$, la media de la inclusión $i:Y\rightarrow X$ induce un inyectiva mapa en $\pi_1$ imagen $H$. (Como opuesto a $\pi_1(Y)$ siendo abstracta isomorfo a $H$).

Con esta interpretación, la respuesta es no. Por ejemplo, considere el $X = S^1$. Es bien sabido que $\pi_1(X) = \mathbb{Z}$. Ahora, consideremos el subgrupo $H = 2\mathbb{Z}$. Me dicen que no existe una adecuada subespacio $Y$ para que el que tiene este grupo fundamental.

Podemos suponer wlog que $Y$ está conectado. A continuación, tenga en cuenta que cualquier conectados subconjunto de $S^1$ es homeomórficos para la conexión de un subconjunto de a $(0,1)$. Estos son fáciles de clasificar, que son, hasta homeomorphism, $(0,1)$, $[0,1]$, y $(0,1]$. Ninguno de estos tiene infinitas cíclico grupo fundamental.

Editar Aquí está un ejemplo con $H$ ni siquiera de manera abstracta isomorfo a un subgrupo en particular, de $\pi_1(X)$.

Tome $X = S^1 \vee S^1$, la cuña de la suma del 2 $S^1$s. El grupo fundamental de la $X$ es conocido por ser isomorfo al grupo libre en dos generadores. También se sabe que un grupo de dos generadores contiene subgrupos isomorfo al grupo libre en $n$ generadores de finito $n$ (hacemos incluso llevar a $n$ a ser contables). Además, se sabe que la libertad de los grupos en los diferentes números de generadores nunca son isomorfos.

Deje $H$ denotar cualquiera de estos subgrupos $n > 2$. En particular, $H$ es no isomorfo a $0$, $\mathbb{Z}$, o bien el grupo en dos generadores. Me reclama que no subespacio $Y$ $X$ $H$ como un grupo fundamental, incluso a nivel de resumen isomorfismo.

Como en el anterior, podemos suponer $Y$ está conectado. Si $Y$ sí no contienen el punto de la cuña, entonces debe estar contenida en un apropiado de la porción de uno de los dos círculos, por lo que el argumento anterior muestra $\pi_1(Y)$ es trivial. Por lo tanto, $Y$ debe contener el punto de la cuña. Ahora, si $Y$ no contener la totalidad de la primera círculo, a continuación, $Y$ deformación se retrae en un subespacio de otro círculo, por lo tanto, el argumento anterior ha $\pi_1 = 0$ o $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, $Y$ debe contener mientras que el primer círculo. Asimismo, $Y$ debe contener todo el segundo círculo.

Pero luego, ello implica $Y = X$, lo $Y$s fundamental del grupo es isomorfo al grupo libre en $2$ generadores, por lo que no isomorfo a $H$.

Final (?) Editar Aquí en el finito fundamental del grupo. Deje $X$ ser obtenida a partir de a $S^1$ adjuntando una $D^2$ por un grado $4$ mapa. Un simple van Kampen argumento muestra $\pi_1(X) = \mathbb{Z}/4$. Deje $H$ ser el único subgrupo de $\pi_1(X)$ isomorfo a $\mathbb{Z}/2$.

Me reclama que no subespacio $Y$ grupo fundamental de manera abstracta isomorfo a $H$. Si $Y$ pierde un punto del interior de la $D^2$, $Y$ deformación se retrae en un subespacio de $S^1$, por lo que por el argumento anterior, ha $\pi_1 = 0$ o $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, podemos suponer que wlog que $Y$ contiene todo el interior de $D^2$. Del mismo modo, si $Y$ pierde un punto de $S^1$, luego restringir la van Kampen argumento a $Y$ muestra que $\pi_1(Y) = 0$, lo $Y$ debe contener todos los de $S^1$. Esto implica $Y = X$, lo $\pi_1(Y)\neq H$.

Answer 2

Tomar el espacio de $X:=\mathbb{S}^1$ $\pi_1(X)=\mathbb{Z}$ Pero cualquier subespacio de $X$ ha ha trivial grupo fundamental, por lo que no subespacio tiene grupo fundamental de la $\mathbb{2Z}\leq\mathbb{Z}$.