Acción de un grupo G sobre $\mathbb{C}$ [G] hace $\mathbb{C}$ [G] un módulo G

Question

Intento demostrar que la acción del grupo G sobre el espacio vectorial de funciones $\mathbb{C}$ [ G ] definido por [ g . $\psi$ ] (h)= $\psi(g^{-1}h$ ) hace un G -módulo. Mi principal problema es que no consigo intuir esta acción y el espacio $\mathbb{C}[G]$ . Y en general cuando muestro que algo, digamos M es un G -existe una regla definida para la multiplicación de los elementos de G con los elementos de M . Lo que me confunde es si la operación del grupo . esa regla y si el h está ahí sólo porque queremos evaluar la función en algún lugar.

¿Tengo que comprobarlo?

(1) [ $g_1.g_2$ . $\psi$ ] (h)= $[g_1.(g_2.\psi)]$ (h) donde $g_1, g_2 \in G$

(2) $1_G . \psi (h) = \psi (h)$

(3) $ [g. (\alpha\phi +\beta\psi)](h)= \alpha[(g.\phi)](h) + \beta[(g.\psi)](h)$ para $\alpha, \beta \in \mathbb{C}, \psi, \phi \in \mathbb{C}[G], g \in G$

Gracias.

Answer 1

Desgranemos lo que la formulación $[g\cdot \psi] (h)=\psi(g^{−1}h)$ realmente define, y luego repasar lo que establecería que esto define un módulo G.

En primer lugar, suponemos que $\mathbb{C}[G]$ para ser el espacio vectorial complejo de funciones $\psi:G \to \mathbb{C}$ , un espacio vectorial definido por las reglas obvias habituales para sumar dos funciones de este tipo y para multiplicar una de ellas por un escalar complejo:

$$ (\alpha \phi + \beta \psi)(h) = \alpha \phi(h) + \beta \psi(h) $$

donde $\alpha,\beta \in \mathbb{C}$ y $\phi,\psi \in \mathbb{C}[G]$ . Así, $\phi$ y $\psi$ puede aplicarse a un elemento $h \in G$ , produciendo un número complejo como resultado. Por tanto, la fórmula anterior describe una función en $\mathbb{C}[G]$ definiendo su valor aplicado a $h$ un elemento típico. Esta definición no utiliza ninguna propiedad de grupo de $G$ que bien podría ser simplemente un conjunto en lo que respecta a las operaciones del espacio vectorial.

La acción de grupo de $G$ en $\mathbb{C}[G]$ hace explotar la estructura de grupo de $G$ . Es decir, queremos decir lo que la imagen $[g\cdot \psi]$ debe estar en $\mathbb{C}[G]$ , dado $g \in G$ y $\psi \in \mathbb{C}[G]$ . Explicar esto requiere que digamos qué $g\cdot \psi$ hace con un elemento $h \in G$ Y ese es el punto de la ecuación:

$$ [g\cdot \psi] (h)=\psi(g^{−1}h) $$

Aquí el elemento del grupo $g$ que está "actuando" en $\psi$ lo hace afectando al argumento $h \in G$ que se está mapeando. En sus palabras, "el $h$ está ahí sólo porque queremos evaluar la función en alguna parte". Ahora debería estar claro que la receta de esta acción de grupo depende de la operación de grupo de $G$ a través de la formación del término $g^{-1}h$ .

Para demostrar que esto es una (izquierda) acción de grupo necesitamos estas dos condiciones de compatibilidad, que no implican la estructura aditiva en $\mathbb{C}[G]$ :

$$ (g_1 g_2)\cdot \psi = g_1 \cdot (g_2 \cdot \psi) $$ $$ 1_G \cdot \psi = \psi $$

A (izquierda) Módulo G está constituido si esta acción de grupo (izquierda) de $G$ en $\mathbb{C}[G]$ satisface una condición de compatibilidad con la estructura aditiva de $\mathbb{C}[G]$ :

$$ g\cdot(\phi + \psi) = (g\cdot \phi) + (g\cdot \psi) $$

para todos $g \in G$ y todos $\phi,\psi \in \mathbb{C}[G]$ . Aunque existe una compatibilidad adicional con la multiplicación escalar en $\mathbb{C}[G]$ , de tal manera que $g\cdot (\alpha \psi) = \alpha (g\cdot \psi)$ no es necesario para demostrar un módulo G.

La respuesta de @DonAntonio da los detalles esenciales para verificar estas propiedades.

Answer 2

$$\begin{align*}\bullet&\;\;(g_1g_2)\psi(h):=\psi\left((g_1g_2)^{-1}h\right)=\psi\left(g_2^{-1}g_1^{-1}h\right)=g_2\psi(g_1^{-1}h)=g_1(g_2\psi)(h)\\ \bullet&\;\;1_G\psi(h):=\psi(1_G^{-1}h)=\psi(h)\\ \bullet&\;\;g(\alpha\phi+\beta\psi)(h)=(\alpha\phi+\beta\psi)(g^{-1}h)=\alpha\phi(g^{-1}h)+\beta\phi(g^{-1}h) =\ldots etc\end{align*}$$