Complejo Proyectiva del Espacio como un $U(1)$ cociente

Question

Como es bien sabido, uno puede ver a $\mathbb{CP}^n$ como cociente de la unidad de $(2n + 1)$-esfera en $\mathbb{C}^{n+1}$ bajo la acción de $U(1)$, ya que cada línea en $\mathbb{C}^{n+1}$ cruza la unidad de la esfera en un círculo.

Además, tenemos a $S^{2n + 1} = SU(n+1)/SU(n)$ donde $SU(n)$ incrusta en la esquina inferior derecha (por ejemplo).

Mi pregunta es: ¿hay una incrustación $j$ $U(1)$ a $SU(n+1)/SU(n)$ que da el $U(1)$ acción como a la izquierda (derecha) de la multiplicación, es decir, que los $A.e^{i \theta} = Aj(e^{i \theta})$, para todos los $A \in SU(n+1)/SU(n)$?

Para $n=1$, es muy fácil: $SU(2) = S^3$, e incorporamos $e^{i\theta}$
$\left( \begin{array}{cc} e^{i \theta} & 0 \\\\ 0 & e^{-i \theta} \end{array} \right)$.

Answer 1

La U(1) grupo está el toro en SU(N+1) que conmuta con SU(N). En el ejemplo dada en la pregunta donde SU(N) es elegida como la parte inferior de N-dimensiones del bloque. U(1) consiste en de la diagonal de las matrices

diag{exp(N*i*theta), exp(-i*theta), . . . . (N-veces) exp(-i*theta)}

Favor de observar que la restricción a la parte inferior de N-dimensiones de bloque es proporcional a la unidad de la matriz por lo tanto se conmuta con la totalidad de SU(N), también pertenece a SU(N+1), ya que tiene una unidad de determinante.

La razón por la que la U(1) y SU(N) factores de viaje es debido a un teorema por A. Borel , que establece que el denominador subgrupo homogéneo de Kaehlerian espacios debe ser el centralizador de un toro. En nuestro caso el toro es el U(1) subgrupo y la certralizer es SU(N)*U(1)

Answer 2

De la wikipedia: $\mathbb{CP}^n$ es un espacio Simétrico de tipo AIII para $p=n$, $q=1$. Hay incrustaciones de ambos $U(1)$ $SU(n)$ a $S(U(n) \times U(1)) \subset SU(n+1)$ que le dan su cociente por la derecha de la multiplicación.

Answer 3

Mi respuesta original fue unsalvegable así que he borrado y soy la publicación de una nueva "respuesta". Como con la primera, yo no calificaría este como particularmente una respuesta, sino más tratando de entender lo que está pasando.

Inicialmente estaba teniendo problemas para entender Scott respuesta, pero ahora creo que sí y creo que da la representación de la matriz quería que no es lo que David escribió.

Tenemos $SU(n+1)$ y dentro de este tenemos a $SU(n)$ y el cociente de a por $S^{2n+1}$. También tenemos un poco más grande subgrupo que es $S(U(n) \times U(1))$, que contiene $SU(n)$, de tal manera que el cociente es $\mathbb{CP}^n$.

Ahora, $S(U(n) \times U(1))$ $U(n)$ través $A \mapsto (\det A^{-1},A)$ y la inclusión $SU(n) \to S(U(n) \times U(1))$ va a la norma de inclusión. Aquí, $SU(n)$ es un subgrupo normal y $U(n)$ es el semi-producto directo de la $SU(n)$ $U(1)$ con el mapa de $U(1) \to U(n)$ $\lambda \mapsto (\lambda, 1,\dots,1)$ (matriz diagonal). Cuando se toma a $S(U(n) \times U(1))$ esto se convierte en $\lambda \mapsto (\lambda^{-1},\lambda,1,\dots,1)$.

Así que, a continuación, $SU(n+1)/S(U(n) \times U(1)) \cong (SU(n+1)/SU(n))/U(1)$ donde $U(1) \to SU(n+1)$ es el mapa $\lambda \to (\lambda^{-1},\lambda,1,\dots,1)$.

Esta no es la misma como la de David, que yo sepa, así que puede no ser lo que usted desea (ya que la respuesta ha sido aceptado). Probablemente sólo uno cumple la condición que desee y, presumiblemente, se trata de David, ya que la respuesta ha sido aceptada. Aún así, yo estaba confundido y creo que lo he enderezado a mí mismo ahora.