Repetir decimales

Question

Para un determinado número entero positivo $n$ menos de $1000$ el equivalente decimal de $\frac{1}{n}$ es $0.\overline{abcdef}$ , un decimal repetido de periodo $6$ y el equivalente decimal de $\frac{1}{n+6}$ es $0.\overline{wxyz}$ , un decimal repetido de período $4$ . ¿En qué intervalo $n$ ¿Mentir? $\textbf{(A)}\ [1,200] \qquad \textbf{(B)}\ [201,400] \qquad \textbf{(C)}\ [401,600] \qquad \textbf{(D)}\ [601,800] \qquad \textbf{(E)}\ [801,999] $

Todo lo que tengo para esto es $n \mid 10^6 - 1$ y $n+ 6 \mid 10^4 - 1$ . ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Usted tiene $n+6 | 9 \cdot 11 \cdot101$

Pero si $n+6 | 10^a -1 $ donde $a<4 $ entonces $\frac {1}{n+6} $ tendrá $a$ dígitos que se repiten. Así que comprobando los casos obtenemos

$n+6 = 101, 303 $ o $909$

Ahora tenemos $n | 11 \cdot 13 \cdot 7 \cdot27 \cdot37$

Así que $ n= 297$ es la única solución

EDITAR:

$ \frac{1}{297} =0. \overline{003367}$

$ \frac {1}{303} =0. \overline{0033}$