Reconocer cuando una torre de Galois extensiones da una extensión de Galois

Question

Para el caso más sencillo, se asume que $L/E$ es de Galois y $E/K$ Galois. ¿Bajo qué condiciones podemos concluir que el $L/K$ es Galois? ¿Supongo que el caso general puede ser un poco complicado, pero hay algunos casos "suficientemente generales" que son interesantes y para que la pregunta puede ser contestada?

EDIT: Respuesta de Jyrki no parece sugerir que hay ningún criterio general sobre los grupos. ¿Podemos decir algo si ponemos criterios en los campos? ¿Decir asumir que el $K=\mathbb{Q}$ o $K=\mathbb{Q}_p$?

Answer 1

Esta no es una respuesta, ni tampoco es muy general, sólo una ilustración con un ejemplo. Deje $K$ ser un campo de número, $E/K$ finita de Galois, y $L/E$ Hilbert campo de la clase de $E$ (el máximo unramified abelian extensión de $E$, que voy a tomar para estar dentro de algunos algebraicas cierre de $\overline{K}$$K$). A continuación, $L/E$ es de Galois, por definición, y mediante su caracterización de la propiedad, se puede demostrar que $L/K$ es de Galois. Es decir, vamos a $\sigma:L\rightarrow\overline{K}$ $K$- monomorphism. A continuación, $\sigma(E)\subseteq E$ porque $E/K$ es de Galois, por lo $\sigma(E)=E$. Por lo tanto $E\subseteq \sigma(L)$, e $\sigma$ establece un isomorfismo entre las extensiones $L/E$$\sigma(L)/E$. No me refiero a que $L$ $\sigma(L)$ $E$- isomorfo, ya que, mientras que $\sigma(E)=E$, no tiene por qué ser el caso de que $\sigma$ corrige $E$ pointwise. Pero, por ejemplo, $\sigma(L)/E$ debe ser Galois, y tenemos un isomorfismo $\mathrm{Gal}(L/E)\cong\mathrm{Gal}(\sigma(E)/E)$ inducida por $\sigma$. También se puede comprobar que $\sigma(L)/E$ es unramified porque $L/E$ es. Por lo $\sigma(L)/E$ es abelian y unramified. Esto significa $L\sigma(L)$ (compositum dentro de $\overline{K}$) es abelian y unramified $E$. Por maximality, $L\sigma(L)=L$, lo que implica que $\sigma(L)=L$. Así que podemos concluir que el $L/K$ es de Galois.

Realmente no sé si hay una manera de hacer esto formales. Similares argumentos se pueden utilizar para demostrar que los diversos campos de la clase de $E$ son Galois sobre $K$. Supongo que el sector informal de la idea es que el $L/E$ debe ser máxima (dentro de $\overline{K}$) con respecto a algunas de las propiedades que se conservan por $K$-incrustaciones de $L$ a $\overline{K}$ (lo que necesariamente enviar $E$ sobre sí mismo) y que se conservan bajo compositum. Admito que es vago, pero no estoy seguro de cómo hacer que sea más precisa.

Answer 2

Si cada automorfismo $K$ $E$ puede ampliarse a un $K$-automorfismo de $L$ $L/K$ es Galois.

Answer 3

Siempre. Galois = normal separable. Una torre de extensiones normales es normal, y una torre de extensiones separables es separable.

Edit: Eso está mal. Separabilidad es transitiva, pero no de normalidad. Ver comentarios más abajo.