Dado que el $\forall x,y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+x\cdot y + y$, determinar el $f'(x)$

Question

Dado que $\forall x,y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+x\cdot y + y$, determinar el $f'(x)$.

He intentado conectar espacial de los casos como dejar a $x=y=0$, pero no parece que me lleve a nada.

(La pregunta no dice nada acerca de la continuidad. ¿Qué debería asumir en estos casos?)

Answer 1

Respuesta: $f'$ no existe.

Si ponemos $y=-x$ tenemos $$f(0) = f(x)-x^2-x,$$ so $$f(x)=x^2+x+a$$ where $a=f(0).$

Para conectar este al partir de la ecuación obtenemos $$(x+y)^2+x+y+a = x^2+x+a+xy+y$$

y llegamos $$y(x+y) =0\;\;\;\forall x,y,$$

una contradicción. Tal función no existe, por lo $f'(x)$ también no existe.

Answer 2

Con respecto a la continuidad, se podría utilizar el hecho de que la ecuación funcional $$f(x+y)=f(x)+x\cdot y+y\tag{1}$$ holds for all real $x,y$ to prove that $f$ debe ser continua en todas partes.

Primero de todo, debe quedar claro a partir de $(1)$ que $f$ debe ser definida en toda la recta real. Una función de este tipo $f$ será continua si y sólo si para todos los $\epsilon>0$ y todos los $x\in\Bbb R,$ hay algo de $\delta>0$ tales que $$\bigl|f(x+y)-f(x)\bigr|<\epsilon$$ for all $y\(- \delta\delta).$ Since \begin{eqnarray}\bigl|f(x+y)-f(x)\bigr| &\overset{(1)}{=}& \bigl|f(x)+x\cdot y+y-f(x)\bigr|\\ &=& |x\cdot y+y|\\ &=& \bigl|(x+1)\cdot y\bigr|\\ &=& |x+1|\cdot|y|,\end{eqnarray} this means we must show that for all $\epsilon>0$ and $x\in\Bbb R,$ there is some $\delta>0$ such that $|x+1|\cdot|y|<\epsilon$ whenever $|y|<\delta.$ Te gustaría ser capaz de tomar de allí?

Sin embargo, sería aún más sencillo para demostrar que $f$ es diferenciable en todas partes (explícitamente el cálculo de la derivada), puesto que las funciones diferenciables son continuas. \begin{eqnarray}f'(x) &:=& \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\ &\overset{(1)}{=}& \lim_{h\to 0}\frac{f(x)+x\cdot h+h-f(x)}h\\ &=& \lim_{h\to 0}\frac{(x+1)\cdot h}h\\ &=& \lim_{h\to 0}x+1\\ &=& x+1.\end{eqnarray}

Como resultado, podemos decir que hay algo de real $c$ tales que $$f(x)=\frac12x^2+x+c\tag{2}$$ for all real $x.$ Our job, then, is to determine what value(s) of $c$ (if any) will allow $f$ to satisfy $(1)$ for all real $x,y.$

Podemos ver que necesitamos \begin{eqnarray}f(x)+x\cdot y+y &\overset{(1)}{=}& f(x+y)\\ &=& \frac12(x+y)^2+(x+y)+c\\ &=& \frac12\left(x^2+2x\cdot y+y^2\right)+x+y+c\\ &=& \frac12x^2+x\cdot y+\frac12y^2+x+y+c\\ &=& \frac12x^2+x+c+x\cdot y+y+\frac12y^2\\ &\overset{(2)}{=}& f(x)+x\cdot y+y+\frac12y^2\end{eqnarray} para todo real $x,y.$ Desgraciadamente, esto sólo es cierto cuando $y=0,$ así que no hay valor de $c$ va a trabajar. Por lo tanto, $f$ no existe, ni tampoco el $f'$.

Answer 3

Sugerencia $:$ Para todos los $h \neq 0$ observar que $\frac {f(x+h) - f(x)} {h} = x + 1.$ Lo $$f'(x)=\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h} = x+1.$$