Una pregunta relacionada con la cardinalidad y la probabilidad

Question

Tengo una pregunta adjunta relativa a la probabilidad y la cardinalidad. Déjeme saber si mi formulación del problema no es rigurosa o confuso. Cualquier prueba o sugerencias son apreciados.Gracias a todos. La pregunta de la siguiente manera.

Considere un conjunto $I$ se compone de $N$ incidentes.

$I=\{i_{1},i_{2},...,i_{k},...i_{N}\}$

Cada incidente tiene una probabilidad de ocurrir, es decir, incidente $i_{k}$ que sucede con la probabilidad de $r_{k}$. Sin pérdida de generalidad, suponemos $r_{1}\geq r_{2}\geq ... \geq r_{k}\geq ... \geq r_{N}$ Dada una constante $n<N$, podemos establecer $I_{1}=\{i_{1},i_{2},...,i_{n}\}$. Al parecer, $|I_{1}|=n$$I_{1}\subset I$. Definir un mapeo $I\to S$ $S=\{s_{1},s_{2},...,s_{k},...s_{N}\}$ sujeto a

$s_{k} = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 &\mbox{ (Pr=%#%#%)} \\ 0 &\mbox{ (Pr=%#%#%)} \\ \end{array} \right.$

Recoger los incidentes que se corresponden con $r_{k}$ 1 para formar el conjunto $1-r_{k}$ , es decir,

$s$

Al parecer, $I_{2}$$I_{2}=\{i_{m_{1}},i_{m_{2}},...,i_{m_{M}}\} \quad \mbox{and} \quad s_{m_{k}}=1 \quad k=1,2,...,M$. Tenga en cuenta que podría ser$|I_{2}|=M$$I_{2}\subset I$.

La pregunta es, Si tenemos dos $I_{2}\ne I_{1}$ $|I_{2}| \ne |I_{1}|$ con los siguientes supuestos:

(1)$A$ $B$

(2)$A\subset I$

(3)$B\subset I$

Es el siguiente afirmación verdadera?

$|A|=|B|=n$

donde $|A \cap I_{1}| \geq |B \cap I_{1}|$ significa que el valor esperado. Si esto es cierto, ¿cómo demostrarlo? Si no, como para demostrar que no es cierto?

Answer 1

Si he entendido bien, tu problema podría ser reformulada de la siguiente manera. Considere la posibilidad de $N$ variables $X_{n}$ cada una Bernouilli ley $B(r_{n})$, tenemos $\mathbb{E}(\sum_{a\in A}X_{a}) \geqslant \mathbb{E}(\sum_{b\in B}X_{b})$ al $|A\cap I_{1}|\geqslant |B\cap I_{1}|$ ( $I_{1}=\{1,2,3..,n\}, n< N$ ) ?

La respuesta es claramente no. Tomar $N=3$, $n=1$, $r_{1}=r_{2}=0$, $r_{3}=1$, $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3\}$ por ejemplo.