Un concurso problema de matemáticas

Question

Deje $P(x)$ ser un polinomio con coeficientes enteros de grado $d>0$.

1. Si $\alpha$ $\beta$ son dos números enteros tales que a$P(\alpha)=1$$P(\beta)=-1$, luego de demostrar que $|\beta -\alpha |$ divide $2$.
2. Demostrar que el número de los distintos entero raíces de $(P(x))^2-1$ es en la mayoría de las $d+2$.

Primero es muy fácil. Pero no puedo entender cómo demostrar a la segunda. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La primera parte es evidente. Desde $\alpha,\beta, P(\alpha)$ $P(\beta)$ son todos los números enteros, $\mid \beta - \alpha \mid$ divide $\mid P(\beta) - P(\alpha) \mid = 2$.

Para la segunda parte, observe que $(P(x))^2-1=(P(x)+1)(P(x)-1)$. Así, todas las raíces de los dos polinomios sería una raíz de este polinomio. Hay $2d$ (no necesariamente distintos) las raíces. Ahora, es cierto que para$d=1,2$$d+2 \geq 2d$. Para $d \geq 3$, supongo que hay más de $d+2$ tales raíces. Por lo tanto, tiene que ser al menos $3$ raíces de cada uno de los dos polinomios. No es posible tener $6$ distintos números enteros tales que dos de ellos están separados por $1$ o $2$. Por lo tanto, no podemos tener más de $d+2$ distintos entero de soluciones.(gracias a @almagesto) Imaginar un numberline. WLOG, Vamos a $P(a)=1$. Ahora, el $3$ entero raíces de $P(x)=-1$ tendría que ser de la forma $a \pm r, r=1 \text{or}\, 2$. Es fácil ver que cualquier entero elegimos siguiente, que iba a diferir por más de $2$ con al menos una de estas raíces. Por lo tanto, no podemos tener más de $d+2$ soluciones.