¿Yoga de localización en categorías?

Question

En la categoría de derivados $D(C)$ de una categoría abeliana $C$ se invierten formalmente los cuasi-isomorfismos. En el contexto de las categorías de modelos, se invierten las equivalencias débiles.

¿Qué se gana con ello?

¿Existe una forma de pensar a gran escala sobre lo que se está haciendo?

Answer 1

La localización en la teoría de las categorías consiste esencialmente en "desechar" los datos irrelevantes. He aquí un ejemplo que puede aclararlo.

Consideremos un espacio topológico $X$ . La definición habitual de gavillas en $X$ dice que son ciertos presheaves que satisfacen una condición de descenso, pero hay otra manera de pensar en ello que sólo implica tomar tallos. Es obvio que la definición de tallo puede aplicarse textualmente a los preacuerdos, por lo que juntando todos los tallos obtenemos un functor $L : \textbf{Psh}(X) \to \textbf{Set}^X$ , donde $\textbf{Set}^X$ denota el $X$ -poderes cartesianos de $\textbf{Set}$ . Declaremos un morfismo $f : A \to B$ de presheaves en $X$ para ser un isomorfismo local si $L f$ es.

Reclamo $\textbf{Sh}(X)$ es precisamente la categoría que se obtiene invirtiendo estos isomorfismos locales, y el functor de sheafificación $j^* : \textbf{Psh}(X) \to \textbf{Sh}(X)$ es el functor de localización. Esto se puede comprobar utilizando el hecho de que $\textbf{Psh}(X)$ admite un cálculo de fracciones derechas:

• $L$ es preservador de los pushouts, por lo que los pushouts de los isomorfismos locales en $\textbf{Psh}(X)$ son de nuevo isomorfismos locales.
• Si $f : A \to B$ es un isomorfismo local tal que $g \circ f = h \circ f$ para algunos $g, h : B \to C$ , entonces si $\eta_C : C \to j^* C$ es la unidad de la adjunción de sheafificación, entonces debemos tener $\eta_C \circ g = \eta_C \circ h$ .

Así, cada morfismo en la localización de $\textbf{Psh}(X)$ lejos de los isomorfismos locales puede representarse mediante un zigzag de la forma $A \leftarrow B \to C$ , donde $A \leftarrow B$ es un isomorfismo local, y jugando con algunos diagramas vemos que de hecho cualquier zigzag de este tipo es equivalente a uno de la forma $A \to j^* A \to j^* C \leftarrow C$ donde la primera y la última flecha son los morfismos unitarios. Dado que los isomorfismos locales son precisamente los morfismos de preseaf $f$ tal que $j^* f$ es un isomorfismo, esto es suficiente para demostrar la afirmación.

En otras palabras, una gavilla es precisamente lo que se obtiene cuando se toma una gavilla previa y se desechan todos los datos adicionales que no se pueden detectar a nivel de tallos. Del mismo modo, un tipo de homotopía es lo que se obtiene cuando se toma un espacio topológico y se desecha todo lo que no puede ser visto por los grupos de homotopía. Pero cuidado: el ejemplo de las gavillas es muy especial; en general, la localización de una categoría no tiene por qué ser una subcategoría reflexiva como en el caso anterior.