La convergencia de $\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+\sqrt[n]{\cdot\cdot\cdot}}}$

Question

Si uno escribe $$1+x=\sqrt{(1+x)^2}=\sqrt{1+2x+x^2}=\sqrt{x+x^2+(1+x)}$$ entonces uno tiene una definición recursiva de la función $1+x$ que puede ser utilizado para escribir $1+x$ como el infinito anidada radical: $$1+x=\sqrt{x+x^2+\sqrt{x+x^2+\sqrt{x+x^2+\sqrt{\cdot\cdot\cdot}}}}$$ Pero esta definición se basa en el hecho de que $$1+x=\sqrt{(1+x)^2}$$ lo que es cierto sólo para $x \ge-1$. En general, podríamos decir que $$1+x=\sqrt[n]{(1+x)^n}=\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+\sqrt[n]{\cdot\cdot\cdot}}}$$ Pero la CARTA no converge a $1+x$ para la mayoría de los valores de $x\in\mathbb{C}$. Entonces, mi pregunta es, ¿cuál es la forma cerrada de la siguiente función? Para qué valores de a$x\in\mathbb{C}$ hace la siguiente función convergen? $$\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+\sqrt[n]{\cdot\cdot\cdot}}}$$ Si claro el por encima de anidado radical puede ser definido por $\lim_{n\to\infty}a_n$donde $$a_1=\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)}$$ $$a_n=\sqrt[n]{(1+x)^n-(1+x)+a_{n-1}}$$

Answer 1

La expresión $$ y=\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+\cdots}} $$ donde $x\ge 0$, representa el límite de la secuencia recursiva $$ a_1=\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)}, \quad a_{n+1}=\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+a_n}, \quad n\in\mathbb N. $$ es tal límite existe.

Claramente, $\{a_n\}$ es cada vez mayor. (El hecho de $a_n\le a_{n+1}$ puede ser demostrado de forma inductiva.)

A continuación, se muestran de forma inductiva que $\{a_n\}$ es superior delimitada por $1+x$. Claramente, $$ a_1=\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)}\le\sqrt[k]{(1+x)^k}=1+x. $$ Suponga que $a_n\le 1+x$. Entonces $$ a_{n+1}=\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+a_n}\le \sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+(1+x)}=1+x. $$ Por lo tanto, $\{a_n\}$ es acotada y monótona, y por lo tanto converge.

Si $x=0$, luego de observar que los $a_n=0$, para todos los $n$, y, por tanto, $a_n\to 0$.

Si $x>0$, luego deje $y=\lim a_n$. Claramente, $y>0$, y por lo tanto $$ y \leftarrow a_{n+1}=\sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+a_n}\ \sqrt[k]{(1+x)^k-(1+x)+y} $$ y así $$ y^k-y=(1+x)^k-(1+x) $$ Ahora la función de $g(z)=z^k-z$ es estrictamente creciente, y por lo tanto uno-a-uno al $g'(z)=kz^{k-1}-1>0$ o al $z>k^{-1/(k-1)}$. Así que si se demuestra que $y>k^{-1/(k-1)}$, entonces se muestra que $y=1+x$.

Tenemos $$ a_1=\sqrt[n]{(1+x)^k-(1+x)}=\sqrt[n]{(1+kx+\cdots)-(1+x)}\ge \sqrt[n]{(k-1)x}\ge x^{1/k} $$ entonces $$ a_2=\sqrt[n]{(1+x)^k-(1+x)+a_1}\ge^{1/k}_1\ge x^{1/{k^2}} $$ y, en general, $$ a_n\ge x^{1/{k^n}}\a 1, $$ y por lo tanto $$ y=\lim a_n\ge 1, $$ lo que implica que $a_n\to 1+x$.

Nota. Si $x\in [-1,0]$, a continuación, $a_n\to 0$.