La prueba de la integral operador en $L^2(\mathbb{R})$ ser auto-adjunto "a mano"

Question

Supongamos que tenemos una integral operador $A$ tal que $$Af(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\mathbb{R}}e^{-\frac{(x-y)^2}{2}}f(x) \, dy$$

Este operador es acotado y $\|A\|=1$ (véase la Norma de la integral operador en $L^2(\mathbb{R})$.). Así que con el fin de demostrar $A$ a ser uno mismo-adjoint es suficiente para mostrar que es simétrica, es decir, $$\forall f,g\in L^2(\mathbb{R}):\,\, \langle Af, g \rangle = \langle f,Ag \rangle$$

Podemos demostrar que el uso unitario de la transformada de Fourier $F$ y su propiedad, que $\langle f,g \rangle = \langle Ff, Fg \rangle$ cualquier $f,g\in L^2(\mathbb{R})$:

$$ \langle Af, g \rangle = \langle FAf, Fg \rangle = \langle \exp\left[-\frac{x^2}{2}\right](Ff), Fg \rangle = $$ $$ = \langle Ff, \exp\left[-\frac{x^2}{2}\right](Fg) \rangle = \langle Ff, FAg \rangle = \langle f, Ag \rangle $$ Así operador $A$ realmente es auto-adjunto.

La pregunta es cómo se demuestra este hecho sin el uso de la transformada de Fourier?

Mis intentos:

$$\langle Af, g \rangle = \int\limits_\mathbb{R}\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{\mathbb{R}} e^{\frac{-(x-y)^2}{2}}f(y) \, dy \right)\overline{g(x)} \, dx.$$ Mover la constante fuera de la exterior integral y el actor $\overline{g(x)}$ dentro del interior de la integral:

$$\langle Af, g \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_\mathbb{R} \int\limits_{\mathbb{R}} e^{\frac{-(x-y)^2}{2}}f(y)\overline{g(x)} \,dy\,dx$$ Es para justificar el siguiente intercambio de integrales:

$$\langle Af, g \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_\mathbb{R} \int\limits_{\mathbb{R}} e^{\frac{-(x-y)^2}{2}}f(y)\overline{g(x)} \, dx\,dy$$ Mover con un valor real de la función real y constante en la conjugación de línea y función de $f(y)$, que no depende de la $x$ fuera del interior de la integral:

$$\langle Af, g \rangle = \int\limits_\mathbb{R} f(y)\int\limits_{\mathbb{R}} \overline{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-y)^2}{2}}g(x)} \, dx\,dy$$ Hacer conjugación antes de la integración:

$$\langle Af, g \rangle = \int\limits_\mathbb{R} f(y)\left(\overline{\int\limits_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-y)^2}{2}}g(x) \, dx}\right) \, dy = \langle f, Ag \rangle$$

Así que si nos justificar el intercambio de las integrales, el resultado estará de pie.

Answer 1

Se puede justificar el intercambio de órdenes de integración por dejar que $$ G(x,y) = e^{-(x-y)^{2}/2} $$ y darse cuenta de que $G(x,y)f(x)\overline{g(y)}$ conjuntamente medibles en $x,y$, y está delimitado por la \begin{align} |G(x,y)f(x)\overline{g(y)}| & = |G(x,y)^{1/2}f(x)||G(x,y)^{1/2}\overline{g(y)}| \\ & \le \frac{1}{2}G(x,y)|f(x)|^{2}+\frac{1}{2}G(x,y)|g(y)|^{2}. \end{align} Así, la expresión de la izquierda es absolutamente integrable en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ debido a que la expresión de la extrema derecha que es absolutamente integrable. El Teorema de Fubini se aplica ahora para justificar el intercambio de órdenes de integración.