Un curioso triángulo de la desigualdad

Question

Deje $ABC$ ser un triángulo. Elegir un punto de $P$ dentro del triángulo. ¿Cómo podría usted demostrar que \begin{equation} |PA|+|PB|+|PC|+\min\{|PA|,|PB|,|PC|\}\leq |AB|+|BC|+|CA|. \end{equation}

Answer 1

Desde $P$ está dentro de $\triangle ABC$, al menos dos de entre $\angle APB$, $\angle BPC$, y $\angle CPA$ son mayores que o igual a $90^\circ$. Supongamos que $\angle APB\ge 90^\circ, \angle CPA\ge 90^\circ$. Entonces tenemos la siguiente imagen:

Así $$2AP\le AD+AE,$$ y $$\begin{aligned}BP+CP&\le (BD+\color{blue}{DP})+(\color{red}{PE}+CE)\\ &\le BD+ \color{blue}{BG} + \color{red}{CH} + CE\\ &\le BD + \color{blue}{BF} + \color{red}{CF} + CE\\ &= BD + BC + CE. \end{aligned}$$ La desigualdad de la siguiente manera.

Answer 2

La clave está en que $P$ es una combinación convexa de $A$, $B$, y $C$. Así tenemos

$$P = \alpha A + \beta B + \gamma C$$

donde $\alpha,\beta,\gamma$ son números positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma = 1$. Por lo tanto, tenemos

$$P-A = (\alpha-1)A + \beta B + \gamma C = \beta(B-A) + \gamma(C-A)$$

y por lo tanto

$$|PA| \leq \beta|AB| + \gamma|CA|.$$

Podemos igualmente muestran que

$$|PB| \leq \alpha |AB| + \gamma|BC| \quad \text{and} \quad |PC| \leq \alpha |CA| + \beta|BC|.$$

Sumando estos tres desigualdades obtenemos

$$|PA| + |PB| + |PC| \leq \alpha(|AB|+|CA|) + \beta(|AB|+|BC|) + \gamma(|CA| + |BC|).$$

Ahora agregue $\alpha|BC| + \beta|CA| + \gamma|AB|$ a ambos lados y el uso de $\alpha+\beta+\gamma=1$ a deducir

$$|PA| + |PB| + |PC| + \alpha|BC| + \beta|CA| + \gamma|AB| \leq |AB| + |BC| + |CA|.$$

La prueba se ha completado señalando que

$$\alpha|BC| + \beta|CA| + \gamma|AB| \geq \min\{|AB|,|BC|,|CA|\}\geq\min\{|PA|,|PB|,|BC|\}.$$

EDIT: lo Siento, acabo de darme cuenta de que hay un error en la última línea. Tal vez algo como esto iba a funcionar. La prueba anterior demuestra que

$$|PA| + |PB| + |PC| + \min\{|AB|,|BC|,|CA|\} \leq |AB| + |BC| + |CA|.$$

Answer 3

Podemos probar un mejor resultado.

Paso 1

Suponga $P$ es la más cercana a $A$, por lo que queremos mostrar $$ 2|PA| + |PB| + |PC| \le |AB| + |BC| + |CA|. $$

Para cualquier $P$, vamos a $A$ se mueven en el círculo con el centro $P$ y radio de $|PA|$, de Esta manera, sólo el lado derecho de la desigualdad de los cambios, y podemos minimizar sujeto a la restricción de que $P$ permanece en el interior de $\triangle ABC$. Podemos ver que hay dos mínimos locales en los extremos de la $A$'s de la gama, uno al $P$ se encuentra en $\overline{AB}$ y uno al $P$ se encuentra en $\overline{AC}$.

Vamos a suponer sin pérdida de generalidad que el mínimo global es al $P$ se encuentra en $\overline{AB}$.

En este caso (es decir, con $P$$\overline{AB}$), podemos ver que $|AP| + |PB| = |AB|$, y podemos restar esta de nuestra deseada de la desigualdad de reducir a la $$|PA| + |PC| \le |BC| + |CA|.$$

Paso 2

Ahora tratamos de la misma idea de nuevo: seguimos dejando $C$ se mueven en un círculo centrado en $P$, y vemos que $|BC| + |CA|$ se minimiza cuando se $C$ llega a la línea de $\overleftrightarrow{AB}$ en el lado donde $B$ (desde $B$ es al menos tan lejos de $P$ $A$ es).

Ahora $|PA| + |PC| = |AC|$, lo que nos indica que nuestro objetivo desigualdad es verdadera.

QED

Más Fuerte Resultado

Al final del paso 2 de arriba, vemos que la brecha entre los dos lados de la desigualdad es exactamente $|BC|$, que no se corresponde con la $|BC|$ del triángulo original, pero no corresponde a $||PC|-|PB||$, lo que en realidad podemos fortalecer la desigualdad original para $$2 \min\{|PA|,|PB|,|PC|\} + 2 \max\{|PA|,|PB|,|PC|\} \le |AB| + |BC| + |CA|.$$ Dado que la igualdad sólo se produce cuando tanto el primer paso (moviendo $A$) y el segundo paso (moviendo $B$) no cambie el lado derecho, y el segundo paso da como resultado un degenerado triángulo (la reducción de la mano derecha si el triángulo no fue inicialmente un degenerado), vemos que para los no-degenerada triángulos, la desigualdad es estricta (incluso si $P$ está en una arista o vértice de $\triangle ABC$): $$2 \min\{|PA|,|PB|,|PC|\} + 2 \max\{|PA|,|PB|,|PC|\} \lt |AB| + |BC| + |CA|.$$