¿Ejemplos de campos de característica 0?

Question

Estaba preparando un examen de área en análisis y me encontré con un problema en el libro Análisis real por Haaser & Sullivan. De la p.34 Q 2.4.3, Si el campo F es isomorfo al subconjunto S' de F' , demuestran que S' es un subcampo de F' . Agradecería cualquier pista sobre cómo resolver este problema ya que estoy atascado, pero esa no es mi pregunta en sí.

Entiendo que para los campos finitos esto implica que dos conjuntos de la misma cardinalidad deben tener la misma estructura de campo, si es que existe. La clasificación de los campos finitos responde a la pregunta anterior de forma constructiva.

Lo que me ha despertado la curiosidad es el caso infinito. Incluso en el caso finito me sorprende que los axiomas de campo sean tan "restrictivos", en cierto sentido, que las estructuras de campo alternativas simplemente no son posibles en conjuntos de igual cardinalidad. Entonces empecé a buscar ejemplos de campos con característica cero mientras pensaba en este problema. No encontré muchos. Hasta ahora, he enumerado los racionales, los números algebraicos, los números reales, los números complejos y los campos p-ádicos. ¿Qué otros ejemplos hay? ¿Existe una clasificación análoga para los campos de característica cero?

Answer 1

¿Existe una clasificación análoga para los campos de característica cero?

Sí, pero es algo inútil y nadie lo llamaría clasificación.

Todo campo de característica cero tiene la forma $Quot(\mathbb{Q}[X]/S)$ , donde $X$ es un conjunto de variables y $S$ es un conjunto de polinomios en $\mathbb{Q}[X]$ (que se puede sustituir por el ideal generado por $S$ que debe ser primo). Esto puede ser mejorado por la existencia de bases de trascendencia: Todo campo de característica cero tiene la forma $Quot(\mathbb{Q}[X])[T]/S$ , donde $X$ y $T$ son conjuntos de variables y $S$ consiste en polinomios, que tienen cada uno una sola variable de $T$ .

Answer 2

Si $F$ es un campo cualquiera, las funciones racionales sobre él forman un campo $F(t)$ con la misma característica (y cardinalidad, si $F$ es infinito). Este campo está formado por todas las funciones racionales $P(t)/Q(t)$ (consideradas como clases de equivalencia, es decir, si $P_1(t) Q_2(t) = P_2(t) Q_1(t)$ entonces $P_1(t)/Q_1(t)$ y $P_2(t)/Q_2(t)$ se identifican).

También puedes sustituir los polinomios por series de potencias formales para obtener un campo diferente. Y puedes iterar la construcción o simplemente considerar funciones racionales en varias variables.

Answer 3

Yuval acaba de publicar la construcción del campo de funciones, que es un ejemplo importante para tu pregunta.

Has mencionado los números algebraicos, pero para explicitarlo, hay muchos campos numéricos algebraicos (a menudo llamados simplemente "campos numéricos"). Tenemos $ \bar Q $ El campo de todo números algebraicos, pero también tenemos $Q(\sqrt{2})$ , $Q(\sqrt[5]{7})$ , $Q(i,\sqrt{2},\sqrt[5]{7})$ y cualquier otro campo que desee generar sobre $Q$ por alguna torre de extensiones finitas.

(Si tomamos $Q(\pi)$ obtenemos un campo isomorfo al campo de funciones $Q(t)$ ya que $\pi$ no es algebraico).

También se pueden tomar infinitas extensiones algebraicas diferentes de los campos p-ádicos, como $Q_3(i)$ o $Q_3(\sqrt[4]{2})$ .

Si te gustan las construcciones grandes, puedes tomar el cierre algebraico $\bar {Q_p}$ de un campo p-ádico (que resulta no ser p-ádicamente completo), entonces toma la terminación $\hat { \bar {Q_p}}$ de eso para obtener un campo p-adcialmente completo y algebraicamente completo que es isomorfo al campo de los números complejos (pero no de ninguna manera canónica).

Answer 4

Sí, tienes razón al decir que los axiomas de campo son restrictivos. Algunos otros ejemplos de la restricción [para campos finitos] son:

1) No se puede tener un campo de orden arbitrario. Sólo del orden $p^n$ son posibles.

2) Los elementos no nulos de un campo forman un grupo multiplicativo. Cuando el campo es finito, este grupo es cíclico [no es sencillo demostrarlo a partir de los axiomas de campo, pero hay que intentarlo].

3) Cualquier anillo de división finito es un campo [teorema de Wedderburn]. Este es un resultado muy sorprendente, ya que un anillo de división no tiene por qué ser conmutativo. Pero la finitud lo impone.

Para la pregunta que mencionaste [de ese libro], debes notar que cuando algún conjunto con alguna estructura algebraica [como grupo, anillo, campo] es isomorfo [como esa estructura algebraica] a algún otro conjunto, entonces bajo ese isomorfismo, estamos dando una estructura algebraica a ese otro conjunto. Por lo tanto, en su caso S' es un campo.