$U(24) $ isomorfo a $Z_2\times Z_2 \times Z_2$

Question

Estoy tratando de mostrar que $Z_2 \times Z_2 \times Z_2$ es isomorfo a $U(24)$.

Puedo empezar por definir $f \colon Z_2 \times Z_2 \times Z_2 \to U(24)$$f((a,b,c)) = 12a + 6b + 4c + 1 \pmod{24}$.

Vamos a tratar de mostrar en él se conserva la operación:

$$ \begin{align*} f((a,b,c))f((d,e,f)) &= (12a+6b+4c+ 1)(12d+6e+4f+1) \pmod{24} \\ &= 144ad + 72ae + 48af + 12a + 72bd + 36be + 24bf + 6b \\ & \quad + 48cd + 24ec + 16cf + 4c + 12d + 6e + 4f + 1 \pmod{24} \\ &= 12a + 12d + 6b + 6e + 4c + 4f + 1 + 36be + 16cf \pmod{24} \\ &= f((a+d,b+e,c+f)) + 36be + 16cf \pmod{24} \\ &= f((a,b,c)(d,e,f)) + 36be + 16cf \pmod{24} \end{align*} $$

Parece que el extra $36be$ $16cf$ términos están diciendo que $f$ no conserva la operación...

Sin embargo, he sido incapaz de encontrar un contraejemplo de que el mapa no funciona (no una prueba, obviamente, pero me pregunto a donde voy equivocado).

Answer 1

Sugerencias:

• $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ es de orden 8.
• Identificar el 8 invertible elementos en $\mathbb{Z}_{24}$.
• Un homomorphism debe mapa de identidad a la identidad. Tenga cuidado aquí, ya que el grupo de operación para $\mathbb{Z}_{24}^\times$ es la multiplicación, pero además en la $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
• Comienzan a multiplicarse algunos de los invertible elementos en $\mathbb{Z}_{24}$, para tratar de ver un isomorfismo.

Answer 2

Bueno, he aquí el problema. Las variables $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{Z}_2$. Así, por ejemplo, el "error" plazo $36be$ $0$ menos $b = e = 1$, pero en ese caso, $b + e = 0 \in \mathbb{Z}_2$.

Concretamente, se han

$$\begin{align} f((0,1,0))f((0,1,0)) &= (6 + 1)(6 + 1) = 36 + 6 + 6 + 1 = 49 = 1 \\ \text{and }f((0,1,0)+(0,1,0)) &= f(0,0,0) = 1, \end{align}$$

como era de esperar. Sin embargo, sin reducir el modulo $2$ antes de aplicar la función, obtenemos

$$ f((0,1,0)+(0,1,0)) = f((0,2,0)) = 12 + 1 = 13,$$

y sólo después de la adición de $36be = 36$ hacer que recuperar el correcto valor de 1.

Su función no es bien definido.

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Aquí un mapa que es un homomorphism:

$$\begin{align} \varphi: \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 &\to \mathbb{Z}_{24}^\times \\ (a, b, c) &\mapsto 13^a \cdot 7^b \cdot 5^c \end{align} $$

Aviso que da los mismos valores que su $f$, pero tiene la espera exponencial comportamiento, la conversión de la estructura aditiva a la estructura multiplicativa.

Answer 3

Por extraño $n$ que no son un múltiplo de 3, uno de $n-1$ $n+1$ es divisible por 4 y el otro es divisible por 2. También, uno de $n-1$ $n+1$ es divisible por tres.

Así, por extraño $n$ que no son un múltiplo de 3, $n^2-1$ es un múltiplo de 24.

Si $x$ es invertible mod 24, $x$ debe ser impar y no un múltiplo de tres. Hay $\phi(24) = \phi(8 \times 3) = 8$ tales $x$.

Por lo tanto, $U(24)$ es un grupo de 8 elementos, en la que cada elemento tiene orden 2. Por lo tanto $U(24) \cong \mathbb{Z}_2^3$ elemental teoría de grupos.