Probar que una relación es transitiva en números enteros.

Question

Así que tengo la siguiente relación $R \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ : $a\:R \:b$ $\Leftrightarrow$ $a \leq b+1$ . No tuve problema en demostrar que la relación es reflexiva y en dar un contraejemplo de que la relación no es simétrica. Todavía tengo la impresión de que la relación es transitiva pero no puedo demostrarlo. ¿Cómo puedo demostrar claramente que si $a \leq b+1$ y $b \leq c+1$ entonces $a \leq c+1$ ? Gracias. :)

Answer 1

¿Y si $a=1$ , $b=0$ , $c=-1$ ?

Ambos $aRb$ y $bRc$ aguantar, pero $aRc$ no lo hace. De ahí que $R$ no es transitivo.

Answer 2

Tienes un número infinito de contraejemplos. Elige algunos $c$ . Ahora dejemos que $a=c+2$ y $b=c+1$ .

Entonces tienes $a=c+2\leq b+1=c+2$ y $b=c+1\leq c+1$ pero $a=c+2>c+1$ .

Para ver por qué hay espacio para la no-transitividad se puede hacer esto:

Desde $a\leq b+1$ y $b\leq c+1$ se obtiene $a-b\leq 1$ y $b-c \leq 1$ y al sumar estos dos se obtiene $a-b+b-c=a-c\leq 2$ lo que equivale a $a\leq c+2$ .