$\ell^p\subseteq\ell^q$ $0<p<q<\infty$ $\|\cdot\|_p<\|\cdot\|_q$

Question

Estoy tratando de mostrar a la inclusión :

$\ell^p\subseteq\ell^q$ real para el valor de secuencias, y mostrar que las normas satisfacer: $\|\cdot\|_p<\|\cdot\|_q$.

Creo que puedo mostrar la primera parte sin mucho problema:

Tome $a_n$$\ell^p$, luego las sumas parciales son una secuencia de Cauchy, es decir, para cualquier $\epsilon>0$ , existe un natural $N$$|S_{n,p}-S_{k,p}|<\epsilon$$n,k>N$, e $S_{n,p}$ de las sumas parciales de $|a_n|^p$ y el individuo términos ir a $0$. Así, podemos elegir un índice $J$$a_j<1$$j>J$. A continuación, el uso que $f(x)=a^x$ disminuye en $[0,1]$. Esto significa que $|a_j|^p<|a_j|^q$.

Así que la cola de $S_{n,q}$, las sumas parciales de $|a_n|^q$ de disminución rápida suficiente para convergen, por comparación con la cola de $S_{n,p}$.

Pero estoy teniendo problemas para mostrar $\|\cdot\|_q<\|\cdot\|_p$ . También, hay una específica canónica de la incrustación entre los dos espacios?

Answer 1

Deje $x\in \ell^p$$0<p<q<+\infty$. Si $x=0$, entonces todo es obvio. De lo contrario, considere la posibilidad de $e=\frac{x}{\Vert x\Vert_p}$. Para todos los $k\in\mathbb{N}$ tenemos $|e_k|<1$$\Vert e\Vert_p=1$. Ahora desde $p<q$ tenemos $$ \Vert e\Vert_q= \left(\sum\limits_{k=1}^\infty |e_k|^q\ \ derecho)^{1/q}\leq \left(\sum\limits_{k=1}^\infty |e_k|^p\right)^{1/q}= \Vert e\Vert_p^{p/q}=1 $$ Entonces podemos escribir $$ \Vert x\Vert_q=\Vert \Vert x\Vert_p e\Vert_q=\Vert x\Vert_p\Vert e\Vert_q\leq\Vert x\Vert_p $$ De hecho, esta desigualdad significa que $\ell^p\subseteq \ell^q$. También podemos excluir la igualdad de signo en esta inclusión, debido a que la serie $x(k)=k^{-\frac{1}{p}}$ pertenece a $\ell^q$, pero no a $\ell^p$. Si asumimos que el $p\geq 1$, se puede hablar de una normativa espacios de $\ell^p$$\ell^q$. A continuación, la última desigualdad significa que la inclusión natural $i:\ell^p\to \ell^q:x\mapsto x$ es un operador lineal continuo.

Vale la pena señalar que la desigualdad de $\Vert\cdot\Vert_p\leq C\Vert\cdot\Vert_q$ es imposible para cualquier constante $C\geq 0$. De hecho, considerar la serie $$ x_n(k)= \begin{cases} 1,\qquad 1\leq k\leq n\\ 0,\qquad k>n \end{casos} $$ Entonces $$ C\geq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\Vert x_n\Vert_p}{\Vert x_n\Vert_q}=\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}=+\infty. $$ Por lo tanto, una constante $C>0$ no existe.