Producto en categoría de grupos cíclicos.

Question

Sé que si $ G_1, G_2 $ son grupos cíclicos entonces $ G_1 \times G_2 $ es cíclico si y sólo si $ |G_1| $ y $ |G_2| $ son coprimas. Pero tengo que responder a una pregunta similar en el contexto de la teoría de las categorías:

demostrar que $ \mathbb{Z}_n $ , $ \mathbb{Z}_m $ tienen un producto en la categoría de grupos cíclicos si y sólo si $ n, m $ son coprimas.

Por la implicación $ \leftarrow \ $ Considero que $ n,m $ coprimas $ \rightarrow \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m $ es cíclico, por lo que este grupo es un elemento de la cateogoría. Ahora podemos tomar la proyección $$ p_1 : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_n ,\ \ \ \ p_1(x,y) = x $$ y $$ p_2 : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_m , \ \ \ \ p_2(x,y) = y $$ que son homomorfismo. Fácilmente puedo demostrar que $ \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m $ y $ p_1, p_2 $ forman un producto de $ \mathbb{Z}_n $ y $ \mathbb{Z}_m $ en la categoría de grupos cíclicos.

Pero estoy atascado en la prueba de la implicación $ \rightarrow $ .

Answer 1

Esto también debería deducirse de un recuento ingenuo del número de homomorfismos entre grupos cíclicos: concretamente, $$\lvert \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_a, \mathbb{Z}_b) \rvert = \gcd(a,b).$$

Supongamos que $\mathbb{Z}_p$ es el producto de $\mathbb{Z}_m$ y $\mathbb{Z}_n$ en la categoría de grupos cíclicos. Entonces satisface la propiedad universal $$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_t, \mathbb{Z}_p) \cong \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_t, \mathbb{Z}_m) \times \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_t, \mathbb{Z}_n)$$ para todos $t$ . Contando ambos lados, obtenemos la relación $$\gcd(t,p) = \gcd(t,m) \cdot \gcd(t,n)$$ para todos $t$ . En particular, si $t = m$ obtenemos $$\gcd(m,p) = m \cdot \gcd(m,n).$$ El lado izquierdo es como máximo $m$ , pero en caso de que $m, n$ no son coprimas, $\gcd(m,n) > 1$ y el lado derecho es estrictamente mayor que $m$ . Esto daría lugar a una contradicción.

Answer 2

Creo que se puede utilizar el hecho de que todo grupo abeliano finito se puede escribir como $(\mathbb{Z}_{n_1})^{\oplus m_1}\oplus\cdots\oplus (\mathbb{Z}_{n_i})^{\oplus m_i}$ . Supongamos ahora que $A$ es un producto categórico de $\mathbb{Z}_n$ y $\mathbb{Z}_m$ en la categoría de grupos cíclicos, y demostremos que también es un producto categórico en la categoría de grupos abelianos finitos :

Dejemos que $X$ sea un grupo abeliano finito, junto con dos mapas $X \to \mathbb{Z}_m$ y $X\to \mathbb{Z}_n$ . Escribir $X = (\mathbb{Z}_{n_1})^{\oplus m_1}\oplus\cdots\oplus (\mathbb{Z}_{n_i})^{\oplus m_i}$ y precomponiendo por las diversas inclusiones, obtenemos una familia de mapas $f_{n_k}^j : \mathbb{Z}_{n_k}\to\mathbb{Z}_n$ y $g_{n_k}^j : \mathbb{Z}_{n_k}\to\mathbb{Z}_m$ , para $j\leq m_k$ . Ahora podemos utilizar la propiedad universal del producto en la categoría de grupos cíclicos para cada par $(f_{n_k}^j,g_{n_k}^j)$ para obtener mapas $h_{n_k}^j : \mathbb{Z}_{n_k}\to A$ . Ahora dejemos esta familia de mapas para la propiedad universal del coproducto en la categoría de grupos abelianos finitos, para obtener un mapa $h : X\to A$ . Se puede demostrar que este mapa conmuta con el inicial $f,g$ módulo de la proyección (este es un diagrama trivial, si se ha entendido la construcción anterior).

Así que si $A$ es un producto categórico en la categoría de grupos cíclicos, es también un producto categórico en la categoría de grupos abelianos finitos, y por tanto viene dado por el producto cartesiano de grupos.

Esta prueba presupone que usted ya sabe que $\times$ y $\oplus$ son respectivamente el producto y el coproducto en la categoría de grupos abelianos finitos, pero creo que son resultados más fáciles.