Necesita ayuda con la integral $ \int_ {0}^ \infty e^{-x^{2}}x^{2n+1}dx $

Question

Problema: probar que $$I = \int_ {0}^ \infty e^{-x^{2}}x^{2n+1}dx = \frac {n!}{2} $$

Fuente: Un problema que encontré en una prueba integral. El problema me molestó por mucho tiempo y terminé dejándolo en el examen. De vuelta a casa decidí abordarlo de nuevo. Aquí está mi opinión sobre ello.

Mi intento: Nunca antes me había encontrado con un problema así, ni siquiera en mis tareas y libros de trabajo. Así es como lo intenté

Primero podemos tomar una integral indefinida y entonces podemos trabajar hacia arriba hacia un fórmula de reducción podemos conectar los límites más tarde. No sé si es bueno, pero lo escribí en el examen: $$I_{2n+1} = \int {e^{x^{-2}}}{x^{2n+1}}dx$$

Al aplicar la integración por partes:

$$I_{2n+1} = e^{-x^{2}} \frac {x^{2n+2}}{2n+2} + \frac {2}{2n+2} \int {e^{-x^{2}}}{x^{2n+3}}dx$$

o $$I_{2n+1} = e^{-x^{2}} \frac {x^{2n+2}}{2n+2} + \frac {I_{2n+3}}{n+1} $$ o

$$I_{2n+1} = {e^{-x^{2}} \over 2} \Bigl ( \frac {x^{2n+2}}{n+1} \Bigl ) + \frac {I_{2n+3}}{n+1} $$

¿Qué puedo hacer ahora? ¿Lo estoy haciendo mal? ¿Este es el camino equivocado? ¡Por favor, ayúdame ya que no puedo dejar de pensar en este problema! ¡Gracias!

Edición 1: Como sugerido (ya probado por mí) pongamos $u = -x^2$ $$ du = -2xdx$$ tapar la expresión anterior en el problema

$$I_{n} = -{1 \over 2} \int {e^{u}}{u^{n}}du$$

$$I_{n} = -{1 \over 2}e^{-u} \frac {u^{n+1}}{n+1} + \frac {I_(n+1)}{n+1}$$

Ciertamente ayuda. ¿Y ahora qué?

Edición 2: Usar la función gamma para obtener el resultado. Desafortunadamente no lo leí para la prueba, por eso no lo conseguí. ¡Gracias a todos por señalar la dirección correcta!

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo presentar un camino a seguir que se basa en la integración bajo la integral. Con ese fin, procedemos.

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Deje que $I(a)$ que se da por la integral

$$I(a)= \int_0 ^ \infty e^{-ax^2}\,x\,dx= \frac1 {2a} \tag1 $$

Diferenciando $(1)$ $n$ times revela

$$ \begin {align} I^{(n)}(a)&=(-1)^n \int_0 ^ \infty e^{-ax^2}\,x^{2n+1}\,dx \\\\ &= \frac12 \frac {d^n}{da^n} \left ( \frac1a\right ) \\\\ &= \frac1 {2a^{n+1}}(-1)^n\,n! \tag2 \end {align}$$

Finalmente, el ajuste $a=1$ en $(2)$ encontramos que

$$ \bbox [5px,border:2px solid #C0A000]{ \int_0 ^ \infty e^{-x^2}\,x^{2n+1}\,dx= \frac12\ ,n!}$$

¡Y hemos terminado!

Answer 2

$n \geq 0$ entero.

$ \displaystyle J= \int_ {0}^ \infty e^{-x^{2}}x^{2n+1}dx$

Realizar el cambio de variable $y=x^2$ ,

$ \begin {align}J&= \frac {1}{2} \int_ {0}^ \infty e^{-x}x^{n}dx \\ &= \frac {1}{2} \Gamma (n+1) \\ &= \boxed { \frac {1}{2} n!} \\ \end {align}$

Answer 3

Pretendamos que no tenemos ni idea de la función Gamma. Aplica una sustitución,

$$t = x^2$$

De la cual, $$I_n = \int_0 ^ \infty e^{-t} (x^2)^n \cdot \frac x {2x} \mathrm d t$$ $$I_n = \frac 1 2 \int_0 ^ \infty e^{-t} t^n \mathrm dt$$

Como estamos tratando de probar que $2I_n = n!$ basta con demostrar que, a partir de la definición recursiva del factorial,

$$2I_1 = 1$$ $$I_n = nI_{n-1}$$

¿Puedes encargarte desde aquí con IBP?

Answer 4

Comencemos con su fórmula inicial $$ I_{2n+1} = \int {e^{x^{-2}}}{x^{2n+1}}dx $$ y definir la integral definitiva $$ J_{2n+1} = \int_0 ^{ \infty }{e^{x^{-2}}}{x^{2n+1}}dx$$

Si tomamos la fórmula que obtuviste mediante la integración por partes:

$$I_{2n+1} = e^{-x^{2}} \frac {x^{2n+2}}{2n+2} + \frac {2}{2n+2} \int {e^{-x^{2}}}{x^{2n+3}}dx$$ y evaluarla en sus límites, se reduce a

$$J_{2n+1} = \frac {1}{n+1} \int_0 ^{ \infty }{e^{-x^{2}}}{x^{2n+3}}dx= \frac {J_{n+3}}{n+1}.$$

Su fórmula ahora se deriva de la evaluación $J_1$ y la inducción. Para ello, es útil reescribir la ecuación como $J_{2k+1}=kJ_{2(k-1)+1}$ .