Yo no soy capaz de encontrar las soluciones de la siguiente ecuación: $$2^k+3^k=p$$ donde $p$ es un número primo y $k \in N$. Es fácil mostrar que tenemos una solución al $k=1,2,4$. Es posible encontrar otras soluciones o los únicos valores posibles de $k$ son los anteriores? Gracias de antemano.
Respuesta
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Comenzamos con dos simplificación de observaciones:
Observación 1: Si $m=2^k+3^k$ donde $k=ab$ donde $a$ es impar, entonces $m$ es divisible por $2^b+3^b$.
Prueba: Supongamos $s=2^b$$t=3^b$. Tenemos \[2^{ab}+3^{ab}=s^a+t^a=(s+t)(s^{- 1}-s^{- 2} \cdot t+\cdots-s \cdot t^{- 2}+t^{- 1}).\] (Ver, por ejemplo, MathWorld.) (QED)
[NB. Un comentario en Sloane del A082101 afirma que debe ser divisible por $5$, lo que es incorrecto (por ejemplo,$2^{10}+3^{10}=60073$).]
Por lo tanto, para $m$ primo, debemos tener ese $k=0$ o $k$ es una potencia de $2$. Así que vamos a cambiar para el estudio de $n=2^{2^k}+3^{2^k}$.
Observación 2: Si $n=2^{2^k}+3^{2^k}$, e $p$ es una extraña divisor primo de $n$, $p=2^{k+1}q+1$ algunos $q \in \mathbb{Z}^+$.
Prueba: Supongamos $x$ ser una raíz primitiva módulo $p$. Definir $t,s,r$ a ser el mínimo de enteros positivos tales que $2 \equiv x^t \pmod p$, $r \equiv x^s \pmod p$ y $-1 \equiv x^r \pmod p$.
Sabemos $x^{2r} \equiv 1 \pmod p$. Por lo tanto $|\mathbb{Z}_p^*|=\varphi(p)=p-1$ divide $2r$ (desde $x$ es una raíz primitiva). Por lo tanto $r=c \cdot (p-1)/2$ algunos $c \in \mathbb{Z}^+$. Sabemos $r$ divide $|\mathbb{Z}_p^*|=\varphi(p)=p-1$ del Teorema de Lagrange. Por lo tanto $c \in \{1,2\}$. Llegamos a la conclusión de $c=1$ (en caso contrario, $r=p-1$ $x^r \equiv -1 \pmod p$ contradice Fermat Poco Teorema). Por lo tanto $r=(p-1)/2$.
Desde $p$ divide $n$, sabemos $x^{2^k t} \equiv x^{r+2^k s} \pmod p$, o, equivalentemente,$2^k t \equiv r+2^k s \pmod {p-1}$. Nos reorganizar esto para dar a $2^k (t-s) \equiv r \pmod {p-1}$. Es importante destacar, $2^k (t-s) \not\equiv 0 \pmod {p-1}$. Por lo tanto, si $2^w$ es el mayor poder de $2$ dividiendo $p-1$,$2^k (t-s) \not\equiv 0 \pmod {2^w}$, ya que el $2^w$ no divide $r=(p-1)/2$. Por lo tanto $w \geq k+1$. (QED)
(Nota observaciones similares pueden ser mostrados por los números de Fermat.)
He utilizado estas observaciones para realizar la prueba de la división, que vino para arriba con el siguiente:
2^(2^1)+3^(2^1) is prime: 13
2^(2^2)+3^(2^2) is prime: 97
2^(2^3)+3^(2^3) has a proper divisor: 17
2^(2^4)+3^(2^4) has a proper divisor: 3041
2^(2^5)+3^(2^5) has a proper divisor: 1153
2^(2^6)+3^(2^6) has a proper divisor: 769
2^(2^7)+3^(2^7) has a proper divisor: 257
2^(2^8)+3^(2^8) has a proper divisor: 72222721
2^(2^9)+3^(2^9) has a proper divisor: 4043777
2^(2^10)+3^(2^10) has a proper divisor: 2330249132033
2^(2^11)+3^(2^11) has a proper divisor: 625483777
2^(2^12)+3^(2^12) has a proper divisor: 286721
2^(2^13)+3^(2^13) has a proper divisor: 14496395542529
2^(2^14)+3^(2^14) has a proper divisor: 2752513
2^(2^15)+3^(2^15) has a proper divisor: 65537
2^(2^16)+3^(2^16) has a proper divisor: 319291393
2^(2^17)+3^(2^17) has a proper divisor: 54498164737
2^(2^18)+3^(2^18)=n does not satisfy 2^(n-1) = 1 (mod n) [Fermat's primality test.]
2^(2^19)+3^(2^19) has a proper divisor: 7340033
2^(2^20)+3^(2^20) has a proper divisor: 23068673
2^(2^21)+3^(2^21) has a proper divisor: 2878894768129
2^(2^22)+3^(2^22) has a proper divisor: 453236490241
2^(2^23)+3^(2^23) has a proper divisor: 106216554497
2^(2^24)+3^(2^24) has a proper divisor: 342456532993
2^(2^27)+3^(2^27) has a proper divisor: 488015659009
Para $k=18$, mi equipo no encontrar fácilmente un divisor, así que me encontré con una base $2$ primalidad de Fermat de prueba, el cual mostró que las $2^{(2^{18})}+3^{(2^{18})}$ definitivamente no es un primo. Así que ahora el menor caso abierto es $2^{(2^{25})}+3^{(2^{25})}$, lo que ha 16009533 dígitos. Si fuera el primer (y casi seguro que no), sería la 4 ª más grande conocido (ver "El más Grande Conocido de los números Primos--Un Resumen").
Heurística: Supongamos que, por el bien del argumento, que la probabilidad de que un número natural $n$ prime es independiente y aproximadamente $1/\ln n$ (que es vagamente justificado por el teorema de los números primos). A continuación, el número esperado de números primos de la forma$2^{2^k}+3^{2^k}$$O(1)$.
No prueba: El número esperado de números primos de la forma$2^{2^k}+3^{2^k}$$\sum_{k \geq 0} \mathrm{Pr}[n=2^{2^k}+3^{2^k} \text{ is prime}] = \sum_{k \geq 0} 1/\ln n$. Se observa que el $n \geq e^{2^k}$, lo $\sum_{k \geq 0} 1/\ln n \leq 1/2^k=2$. (QED)
Si partimos de la suma en $k=25$, podemos estimar la probabilidad de que otro de los primos de la forma deseada existente en $5.96 \times 10^{-8}$.
Por supuesto, la independencia suposición no es válida (por ejemplo, si $n$ es el primer y $n \geq 3$ $n+1$ no es primo). Pero esto da una sensación de que sería posible de no tener más números primos de esta forma. (Similar se utilizan heurísticas para argumentar que no hay probablemente más de los números primos de Fermat.)
Respuesta: creo que la única respuesta posible a su pregunta será "no lo sé, pero probablemente no" por un largo tiempo (similar a los Números de Fermat).
(También me gustaría agradecer el uso de Primeform (OpenPFGW), junto con mi propio código, para los cálculos en esta respuesta.)
