deje $(X,d)$ ser un espacio métrico. Cómo puedo demostrar que cualquier subconjunto finito de $X$ es cerrado.

Question

deje $(X,d)$ ser un espacio métrico. Cómo puedo demostrar que cualquier subconjunto finito de $X$ es cerrado.

Puede un subconjunto finito de $X$ ser abierto ?

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Definiciones:

• un conjunto $F\subseteq X$ es cerrado (en$(X,d)$) si $\bar F =F$.
• un conjunto $U\subseteq X$ es abierto (en$(X,d)$) si $U^o=U$

Answer 1

Para un enfoque más básica de Andrew Salmón, vamos a $\langle X,d\rangle$ ser un espacio métrico, y deje $F$ ser cualquier subconjunto finito de $X$. El conjunto vacío es cerrado por definición, por lo que puede muy bien suponer que los $F\ne\varnothing$. Ahora supongamos que $x\in X\setminus F$, y deje $r_x=\min\{d(x,y):y\in F\}$. A continuación, $r_x>0$ (por qué?); ¿qué se puede decir acerca de la $B(x,r_x)$, la bola abierta de radio $r_x$ centrada en $x$?

Sí, un conjunto finito en un espacio métrico se puede abrir. En primer lugar, el conjunto vacío está siempre abierta. Aparte de eso, sin embargo, depende del espacio. No finito, no-vacío es subconjunto de a $\Bbb R^n$ es abierto, por ejemplo, para cualquier $n\in\Bbb Z^+$. Sin embargo, si $X$ es cualquier conjunto, la función de $d:X\times X\to\Bbb R$ definido por

$$d(x,y)=\begin{cases}1,&\text{if }x\ne y\\0,&\text{if }x=y\end{cases}$$

es una métrica que, a menudo llamada la métrica discreta, y cada subconjunto de $X$ está abierto.

Answer 2

Para una respuesta que no requiere ningún conocimiento de la separación de los axiomas, considerar el límite de puntos de $\{ x \}$. Fijar un punto de $y$ no en este conjunto. Puede $y$ ser un punto límite (sugerencia: recuerde que $d(x,y) \ne 0$)?

Ahora, recuerde que la unión finita de conjuntos cerrados es cerrado.