Do Carmo: Lineal campo de muerte anti-simétrica?

Question

En el Ejercicio de 3.5 a de la Geometría de Riemann, do Carmo define un campo vectorial $v$ $\mathbb{R}^n$ a ser lineal si es lineal como un mapa de $v\colon \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^n$. Luego le pide al lector a probar que tal $v$, definido por una matriz de $A$, es un campo de muerte iff $A$ es anti-simétrica. Sin embargo, me he encontrado con un problema.

Supongamos $v$ es lineal en el campo de muerte con la matriz de $A$. El flujo de $v$ está dado por $\phi_t(x)=tAx + x$ y se define para todos los $t,x$. Su derivada es $d\phi_t=tA + I$. Entonces a partir de la $\phi_t$ es (por do Carmo definición) una isometría, para todos los $x\in \mathbb{R}^n$, tenemos \begin{align} \langle x, x \rangle &= \langle d\phi_tx, d\phi_tx \rangle\\ &= \langle tAx + x, tAx + x\rangle\\ &= t^2\langle Ax,Ax\rangle + 2t\langle Ax,x\rangle + \langle x,x\rangle\\ 0 &= t^2\langle x,A^\top Ax\rangle + 2t\langle Ax,x\rangle. \end{align} Pero esto es cierto para todos los $t$, por lo que los coeficientes de $t$ $t^2$ en el lado derecho debe ser idéntica a cero. Por lo tanto, $\langle Ax,x\rangle=0$ todos los $x$, lo que significa que $A$ es anti-simétrica, y $\langle x,A^\top Ax\rangle =0$ todos los $x$, lo que significa que $A^\top A$ es anti-simétrica. Pero $A^\top A$ también es simétrica, por lo $A^\top A=0$. Por lo tanto, $-A^2 = A^\top A = 0$. Desde un general anti-simétrica la matriz no es nilpotent (¿hay alguna nilpotent distinto de cero anti-simétrica matrices?), do Carmo la afirmación es falsa.

¿En qué he faltado?

Answer 1

La ecuación para el flujo que está mal. Lo que está mal es que si $\gamma_x(t) = \phi_t(x)$ necesita $\frac{d}{dt}\phi_t(\gamma(t)) = \gamma'(t)$ todos los $t$, mientras que el suyo solo funciona para $t=0$.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$, considere la función $$\phi_t(\vec{x}) = \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t\end{bmatrix} \vec{x}.$$

Uno puede comprobar fácilmente que esto realmente es una isometría, por lo tanto $X=\frac{d}{dt}\phi_t |_{t=0}$ es Matar a un campo de vectores. La informática, nosotros, en realidad, consigue $$X(\vec{x}) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1&0 \end{bmatrix}\vec{x}.$$

Aviso que en mi flujo, para fija $\vec{x}$, $\phi_t(\vec{x})$ tiene un almacén de la imagen, mientras que por su fórmula, tan largo como $A\neq 0$, la imagen de $tA\vec{x} + \vec{x}$ ha ilimitado de imágenes, por lo que su fórmula debe haber un error.

Lo que es cierto es la siguiente: Si $A$ es lineal, entonces el flujo es $$\phi_t(\vec{x}) = \exp(tA)\vec{x} = (I + tA + \frac{t^2}{2!}A^2 + ...)\vec{x}.$$ This follows because \begin{align*} \phi_0(\vec{x}) &= \exp(0)\vec{x} \\ &= I\vec{x}\\ &= \vec{x}\end{align*} and, if $\gamma=\gamma_\vec{x}(t) = \phi_t(x)$, entonces \begin{align*} A(\gamma(t)) &= A\phi_t(\vec{x})\\ &= A\exp(tA) \vec{x} \\ &= (\exp(tA)\vec{x})' \\ &= \gamma'(t).\end{align*}

En términos de su producto interior de cálculo, tenemos $d\phi_{t_0} v = \exp(t_0 A)v$ $v$ un vector tangente en $\mathbb{R}^n$. Entonces, la clave del hecho de $\exp$ que necesitas es que el $\exp(A)\exp(-A) = I$, o dicho de otra manera, $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$. (Tenga en cuenta que, en general, no tenemos $\exp(A)\exp(B) = \exp(AB)$ si $A$ $B$ viaje.) Por lo tanto, si $A$ es antisimétrica, tenemos \begin{align*} \exp(A)^\top &= \exp(A^\top) \\ &= \exp(-A) \\ &= \exp(A)^{-1}\end{align*} y este debe hacer sus cálculos.