Si dos números de $a$ $b$ son coprime, a continuación, $ab$ $a^2+b^2$ son también coprime. ¿Por qué es esto cierto?

Question

He leído una prueba de que simplemente se dice que la segunda parte se sigue de la primera. No veo cómo.

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $p$ es un primo que divide a $ab$$a^2+b^2$. A continuación, $p$ divide tanto a a$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Esto a su vez implica que el $p$ divide tanto a a$a+b$$a-b$. (Por qué?) Use esto para mostrar que $p$ divide tanto a a$a$$b$.

Answer 2

SUGERENCIA: $a^2 + b^2 +2ab = (a+b)^2.$

Answer 3

Por contradicción, vamos a $d>1$ divide $ab$$a^2+b^2$. A continuación, $d$ tiene un divisor primo $p$, que divide tanto a a$ab$$a^2+b^2$.

A continuación, $p|a(a+b) - ab = a^2$ Desde $p$ es un primo que divide $a^2$ $\implies$ que $p|a$.

Y $p|b(a+b) - ab = b^2$ $\implies$ $p|b$.

Por lo tanto $p|a$ y también, $p|b$, lo $p$ divide $gcd(a,b) = 1$. Sin embargo, esto obliga a $p = 1$, lo cual es una contradicción, ya que el 1 no es primo.

Por lo tanto el único punto positivo común divisor de a$ab$$a^2+b^2$$1$, y por lo tanto son coprime.

Answer 4

Intuitivamente, si un factor se divide $a$ pero no $b$ a continuación, divide $ab$ $a^2$ pero no $b^2$, por lo tanto no $a^2+b^2$.

Más formalmente, un aviso de que si $a$ $b$ son coprime entonces también se coprime a $a+b$ y, por tanto, $ab$ es coprime a $(a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2$.

Answer 5

Supongamos $\text{gcd}(a,b) = 1$, pero $\text{gcd}(ab,a^2+b^2) = d$ donde $d > 1$. Sea p un factor primo de d. Entonces

$$d|ab \implies p|ab \implies p|a \text{ or } p|b$$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que p|a. Entonces

$$d|(a^2 + b^2) \implies p|(a^2 + b^2) \implies p|b^2 \implies p|b$$

contrario a $\text{gcd}(a,b)=1$.