Rizo de un vector en coordenadas esféricas

Question

El rizo de una función vectorial en un sistema de coordenadas curvilíneas viene dado por $$ \nabla \times A = \frac 1 {h_1 h_2 h_3} \begin{vmatrix} h_1 \hat e_1 & h_2 \hat e_2 & h_3 \hat e_3\\ \partial \over \partial x_1 & \partial \over \partial x_2 & \partial \over \partial x_3\\ h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix} \hspace{20 mm} \mathbf{(1)}$$ donde $h_1, h_2, h_3$ son factores de escala. Para coordenadas esféricas $$h_1 = 1, h_2 = r, h_3 = r\sin\theta$$

Sin embargo, no entiendo (1), que tampoco se explica en mi libro. ¿Cómo se deriva? ¿Puede alguien explicarme? Incluso los enlaces serían útiles. ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Antes de hacer la derivación, me gustaría explicar el origen de los factores de escala $h_i$ . Supondremos en todo momento que nuestras coordenadas curvilíneas $x_1$ , $x_2$ y $x_3$ son ortogonales, es decir, que los gradientes $\nabla x_1$ , $\nabla x_2$ , $\nabla x_3$ son vectores ortogonales. También supondremos que son diestros, en el sentido de que $\widehat{e}_1\times\widehat{e}_2=\widehat{e}_3$ .

El origen de los factores de escala

Una diferencia importante entre las coordenadas curvilíneas $x_1,x_2,x_3$ y estándar $x,y,z$ es que las coordenadas curvilíneas no cambian a velocidad unitaria. Es decir, si empezamos en un punto y nos movemos en la dirección de $\widehat{e}_i$ no debemos esperar $x_i$ para aumentar la tasa unitaria.

Una consecuencia de esto es que los gradientes $\nabla x_i$ de las coordenadas curvilíneas no son vectores unitarios. Para $x,y,z$ coordenadas, sabemos que $$ \nabla x \;=\; \widehat{\imath},\qquad \nabla y \;=\; \widehat{\jmath},\qquad\text{and}\qquad \nabla z\;=\; \widehat{k}. $$ Sin embargo, para las coordenadas curvilíneas, obtenemos algo como $$ \nabla x_1 \;=\; \frac{1}{h_1}\widehat{e}_1,\qquad \nabla x_2 \;=\; \frac{1}{h_2}\widehat{e}_2,\qquad\text{and}\qquad \nabla x_3 \;=\; \frac{1}{h_3}\widehat{e}_3, \tag*{(1)}$$ donde $h_1$ , $h_2$ y $h_3$ son escalares.

El recíproco $1/h_i$ de cada factor de escala representa la velocidad a la que $x_i$ cambiará si nos movemos en la dirección de $\widehat{e}_i$ a la velocidad de la unidad. Equivalentemente, se puede pensar en $h_i$ como la velocidad a la que tienes que moverte si quieres aumentar $x_i$ a velocidad unitaria. Para las coordenadas esféricas, debería ser geométricamente obvio que $h_1 = 1$ , $h_2 = r$ y $h_3 = r\sin\theta$ .

Fórmula del gradiente

Podemos utilizar los factores de escala para obtener una fórmula para el gradiente en coordenadas curvilíneas. Si $u$ es un escalar, sabemos por la regla de la cadena que $$ \nabla u \;=\; \frac{\partial u}{\partial x_1}\nabla x_1 \,+\, \frac{\partial u}{\partial x_2}\nabla x_2 \,+\, \frac{\partial u}{\partial x_3}\nabla x_3 $$ Sustituyendo las fórmulas de (1) obtenemos $$ \nabla u \;=\; \frac{1}{h_1}\frac{\partial u}{\partial x_1}\widehat{e}_1 \,+\, \frac{1}{h_2}\frac{\partial u}{\partial x_2}\widehat{e}_2 \,+\, \frac{1}{h_3}\frac{\partial u}{\partial x_3}\widehat{e}_3\tag*{(2)} $$ Esta es la fórmula del gradiente en coordenadas curvilíneas.

Fórmula para el rizo

Primero, observa que la fórmula del determinante que has dado para el rizo es equivalente a las tres fórmulas siguientes: $$ \begin{gather*} (\nabla\times A)\cdot\widehat{e}_1 \;=\; \frac{1}{h_2h_3}\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial}{\partial x_3} \\[8pt] h_2A_2 & h_3A_3\end{matrix}\right| \\[12pt] (\nabla\times A)\cdot\widehat{e}_2 \;=\; \frac{1}{h_3h_1}\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x_3} & \frac{\partial}{\partial x_1} \\[8pt] h_3A_3 & h_1A_1\end{matrix}\right| \\[12pt] (\nabla\times A)\cdot\widehat{e}_3 \;=\; \frac{1}{h_1h_2}\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} \\[8pt] h_1A_1 & h_2A_2\end{matrix}\right| \end{gather*} $$ Vamos a demostrar la primera de estas fórmulas. Dado un campo vectorial cualquiera $A$ podemos escribir $$ \begin{align*} A \;&=\; A_1 \widehat{e}_1 \,+\, A_2 \widehat{e}_2 \,+\, A_3 \widehat{e}_3 \\[6pt] &=\; h_1A_1\,\nabla x_1 \,+\, h_2A_2\,\nabla x_2 \,+\, h_3A_3\,\nabla x_3 \end{align*} $$ Tomando el rizo se obtiene $$ \nabla \times A \;=\; \nabla(h_1A_1)\times (\nabla x_1) \,+\, \nabla(h_2A_2)\times(\nabla x_2) \,+\, \nabla(h_3A_3)\times(\nabla x_3) $$ Aquí hemos utilizado la identidad $\nabla\times(uF) = (\nabla u)\times F + u(\nabla\times F)$ así como el hecho de que el rizo de un gradiente es cero. Aplicando la fórmula (1), obtenemos $$ \nabla \times A \;=\; \frac{1}{h_1}\nabla(h_1A_1)\times \widehat{e}_1 \,+\, \frac{1}{h_2}\nabla(h_2A_2)\times\widehat{e}_2 \,+\, \frac{1}{h_3}\nabla(h_3A_3)\times\widehat{e}_3 $$ Cuando tomamos los productos cruzados, el $\widehat{e}_1$ componente será $$ (\nabla \times A)\cdot\widehat{e}_1 \;=\; \frac{1}{h_3}\nabla(h_3A_3)\cdot\widehat{e}_2 \,-\, \frac{1}{h_2}\nabla(h_2A_2)\cdot\widehat{e}_3. $$ Pero, por la fórmula (2) para el gradiente, $$ \nabla(h_3A_3)\cdot\widehat{e}_2 \;=\; \frac{1}{h_2}\frac{\partial}{\partial x_2}(h_3 A_3)\qquad\text{and}\qquad\nabla(h_2A_2)\cdot\widehat{e}_3 \;=\; \frac{1}{h_3}\frac{\partial}{\partial x_3}(h_2 A_2) $$ Por lo tanto, $$ \begin{align*} (\nabla \times A)\cdot\widehat{e}_1 \;&=\; \frac{1}{h_2h_3}\frac{\partial}{\partial x_2}(h_3A_3) \,-\, \frac{1}{h_2h_3}\frac{\partial}{\partial x_3}(h_2A_2) \\[12pt] &=\; \frac{1}{h_2h_3}\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial}{\partial x_3} \\[8pt] h_2A_2 & h_3A_3\end{matrix}\right| \end{align*} $$ como se desee.