Conjunto de puntos de continuidad de una función real

Question

Tengo una pregunta sobre subconjuntos $$Un \subseteq \mathbb R$$ para los que existe una función $$f: \mathbb R \to \mathbb R$tales que el conjunto de puntos de continuidad de$f$es$ $A. ¿Puedo caracterizan a este tipo de juegos? ¿En una topología, mensurable o de alguna manera? Por ejemplo, ¿existe una función continua en$\mathbb Q$ y discontinua en los irrationals?

Answer 1

1) Dejar que $X$ ser un espacio métrico, y dejar que $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ ser cualquier función. Para cualquier $\epsilon > 0$, digamos que es un punto de $x \in X$ propiedad $C(f,\epsilon)$ si existe $\delta > 0$ tales que $d(x,x'), d(x,x") < \delta \implica |f(x')-f(x")| < \epsilon$. Si $x \in X$ propiedad $C(f,\epsilon)$, entonces para cada punto en una lo suficientemente pequeños como $\delta$-bola de alrededor de $x$, por lo que el lugar geométrico de todos los puntos de la satisfacción de la propiedad $C(f,\epsilon)$ es un abierto subconjunto. Por otra parte, $f$ es continua en $x$ si $x$ propiedad $C(f,\frac{1}{n})$ para todo $n \in \mathbb{Z}^+$. Esto muestra que el locus de la continuidad de f , es decir, el conjunto de $x$ en $X$ tal que $f$ es continua en $x$ -- es una contables intersección de bloques abiertos, o en la jerga de este tema, una de $G_{\delta}$-set.

2) Si $x \in X$ es un punto aislado , es decir, si $\{x\}$ es abierto en $X$; o, equivalentemente, si $\delta > 0$ $\delta$-bola de alrededor de $x$ se compone sólo de $x$, -- luego de cada función $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $x$. Esto impone una restricción adicional en el locus de la continuidad: debe contener el subconjunto de todos los puntos aislados. Por ejemplo, si $X$ es discreta, a continuación, el locus de la continuidad de cualquier $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ es de $X$, así que sin duda no todos los $G_{\delta}$es un locus de continuidad!

3) por el Contrario, dejar que $Y \subconjunto X$ $G_{\delta}$-conjunto que contiene todos los puntos aislados de $X$. A continuación, $Y$ es un locus de continuidad: existe una función $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, que es continua en $x$ si $x \in S$. Un corto, elegante, prueba de esto se da en esta nota de 1999 de S. S. Kim.

Tenga en cuenta que dado que $\mathbb{R}$ no tiene puntos aislados, aquí el resultado de 3) se dice que de cada $G_{\delta}$-subconjunto de $\mathbb{R}$ es un locus de continuidad. Pero uno podría, así como de registrar el caso general-es no más problemas...

Answer 2

A Pete L. Clark sugerencia, estoy haciendo un comentario mío en una respuesta.

Para aquellos interesados en el preciso referencias en la literatura publicada para este resultado (y sus resultados), ver

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/05dbc0ee4c69898e

Me puede volver a publicar ese post anterior aquí, tal vez con las adiciones que yo no lo sabía entonces, si se me ocurre encontrar las referencias adicionales en mis cosas en casa), pero va a tomar al menos un día o dos antes de que yo pueda formatear correctamente todos mayores de edad post para publicar aquí.

Answer 3

La respuesta a tu última pregunta es No.

El artículo de la Wikipedia en Thomae la función da una elegante prueba de por qué esto es imposible. Incluye enlaces a los términos que utiliza. Voy a presentar lo que dice aquí, pero sugiero ver en Wikipedia:

Una lógica de la pregunta que uno se podría preguntar si hay una función que es continua en los números racionales y discontinuo en los números irracionales.

Este resulta ser imposible; el conjunto de discontinuidades de la función debe ser un conjunto Fσ. Si tal función existido, entonces el irrationals sería un conjunto Fσ y, por lo tanto, ya que no contienen un intervalo, también sería un escaso conjunto.

Se seguiría que los números reales, siendo una unión de la irrationals y los racionales (que es evidentemente escasos), también sería un escaso conjunto. Esto estaría en contradicción con la categoría de Baire teorema.