Acabamos de comenzar a hablar sobre los espacios internos de los productos y cómo se puede asignar una noción diferente de longitud y ángulo en un espacio vectorial. Dado que el determinante en$\mathbb{R^n}$ captura la noción de "$n$ - volumen orientado dimensional", ¿esto significa que una noción diferente de longitud le dará un significado diferente al determinante?
¿La "longitud" está definida por un producto interno incluso conectada al "volumen" definido por el determinante?
Creo que esta interpretación de la determinante como "volumen" sólo tiene de positiva definida métricas $\Bbb R$ espacios. Si cambia las unidades de medida en los ejes, el determinante puede acomodar esta por cambiar en consecuencia. (Quiero decir, si primero se mide en metros y tiene un volumen de 1 metro cúbico, hacer un cambio de coordenadas a centímetros iba a cambiar el determinante de a $100^3$ centímetros.)
Si por alguna extraña razón se mide de los pies en uno de los ejes, pulgadas en el otro y los medidores en el pasado, entonces usted podría todavía obtener la medición del volumen de la determinante, es sólo que sería bastante extraño unidades: metros*pulgadas*metros.
En general, el determinante de una matriz no hace uso de ningún producto interior en su cálculo. Incluso puede hacerlo a través de los campos para que los pedidos, la longitud y el volumen realmente no hacer (Euclidiana) sentido. Probablemente es mejor pensar en el factor determinante que se atribuye a una transformación lineal. Usted probablemente sabe que todos los de la matriz de representación de una determinada transformación son conjugada, y dado que el factor determinante es la conjugación de todos los idiomas, se puede ver que el factor determinante es realmente más apegado a la transformación en vez de la matriz.
Considere la posibilidad de un local isometría $\varphi: \mathbb R^n \to M$. Esto induce a una nueva métrica cuyas propiedades pueden verse de la siguiente manera. Deje $\underline \varphi$ ser el diferencial ("matriz Jacobiana")de $\varphi$, y deje $\overline \varphi$ ser el diferencial del adjoint ("transpose").
Los vectores de tangentes en $M$ puede luego ser llevada a $\mathbb R^n$$\underline \varphi^{-1}$, y la cotangente vectores $\overline \varphi$. Esto nos permite utilizar la métrica Euclidiana de $\mathbb R^n$ para calcular longitudes y distancias en $M$.
Supongamos que tenemos una curva de $c(t): I \to M$. Encontrar la longitud de esta curva por una integral:
$$\ell = \int_a^b \sqrt{ \left (\underline \varphi^{-1}[c'(t)] \cdot \underline \varphi^{-1}[c'(t)]\right)} \, dt$$
Tire hacia atrás de la tangente de los vectores de a $\mathbb R^n$ y, a continuación, encontrar la longitud como de costumbre.
Ahora, ¿qué podemos hacer para hablar acerca de las áreas y definir una cuña producto de la tangente o cotangente vectores, uno que es antisimétrica en el intercambio. Deje $d(u,v)$ traza una superficie en $M$, $\partial_u d$ $\partial_v d$ son vectores, y podemos denotar un área infinitesimal elemento por $\partial_u d \wedge \partial_v d \, du \, dv$. Aún así, tenemos que tener un "producto escalar" de este objeto con sí mismo para llegar a un escalar, y tenemos a la raíz cuadrada de que para llegar a una zona (no voy a explicar cómo este producto escalar se define, pero sí existe y tiene una definición concreta).
$$A = \int \int \sqrt{ \left (\underline \varphi^{-1}[\partial_u d \wedge \partial_v d] \cdot \underline \varphi^{-1}[\partial_u d \wedge \partial_v d ] \right)} \, du \, dv$$
Cuando llegamos a $n$-volúmenes, es la misma historia. Pero aquí es donde las cosas se ponen muy interesante: resulta que $\underline \varphi^{-1}(v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) = v_1 \wedge \ldots \wedge v_n/\alpha$ donde $\alpha$ es algunos escalares. Esta $\alpha$ es, por definición, el factor determinante de la $\underline \varphi$, por lo que un $n$ volumen integral se convierte en
$$V_n = \int [\det \underline \varphi]^{-1} \sqrt{(v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)^2} \, d^n x$$
A menudo escribimos en lugar de que esta es la raíz cuadrada de la métrica general de los espacios. Usted puede verificar que la métrica de $\underline g'$ $M$ depende de $\overline \varphi^{-1} \underline \varphi^{-1}$, lo $\det \underline g' = [\det \underline \varphi]^{-2}$.
Así una noción de longitud, un nuevo sistema--naturalmente va a llevar a diferentes mediciones de volúmenes, pero el volumen sigue relacionados con el determinante de la métrica en cada espacio. Es sólo en coordenadas cartesianas para el espacio Euclidiano, donde la métrica es la identidad, que tomando el determinante de los vectores funciona de la misma como la integral anterior, con el determinante de la métrica que aparecen así.
La métrica determina las longitudes, como se define en el interior del producto, y las medidas del volumen dependen de él así.
Para continuar con @rschwieb buena respuesta: en efecto, en primer lugar, "volumen" probablemente sólo se refiere a espacios vectoriales, y debe haber alguna medida (si no en un terrible sentido técnico) que se adjunta, demasiado, o no sabemos cómo medir [sic] de volumen. Es decir, un "resumen" $n$-dimensional $\mathbb R$-vectorspace $V$ no canónica de volumen. Es completamente ambigua.
Sin embargo, como rschwieb se ha señalado ya, la noción de determinante de una transformación lineal en $V$ no hace uso de un volumen o de la base: $\det A$ es el escalar por el cual $A$ actúa en la mayor fuga potencia exterior de $V$. La mayor fuga potencia exterior es unidimensional, por lo que su endomorphisms son escalares...
Por lo tanto, la verdadera pregunta es acerca de cómo sabemos que, o por qué, determinantes hacer calcular el volumen en el conocido caso. Uno puede discernir que la "totalidad" de la interna del producto no es necesario, ya que un tramo en un eje de coordenadas puede ser compensada por la reducción en la otra, como rschwieb señaló.
En mi opinión, la más directa de la comprensión es que un elemento invertible del grupo $GL_n(\mathbb R)$ de los invertible real de las matrices tiene un "Cartan de descomposición" (un.k.a. "la descomposición de valor singular") $k_1\delta k_2$ donde $k_j$ son ortogonales y $\delta$ es positivo-diagonal. "Ortogonal" es la métrica-la conservación, así que sin duda volumen-preservación. Positivo-diagonal de las matrices de $\delta$ podría decirse que el cambio de volumen de una manera predecible a partir de su efecto en cajas rectangulares: la extensión/contracción por importe $\delta_i$ ($i$th diagonal de la entrada) los cambios en el volumen de una coordenada del eje alineado a la caja por $\prod_i \delta_i$.
A partir de esto, el cambio de volumen por $A=k_1\delta k_2$$|\det \delta|=\det A$, ya que los determinantes de las matrices ortogonales se $\pm 1$.
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