Calculando la función de error inversa

Question

Necesito una fórmula/serie para calcular la función error inversa, que es la inversa de $$ \operatorname{erf}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^2} \,\mathrm{d}t. $$

Aparentemente, la serie de Maclaurin para la función error inversa es $$ \operatorname{erf}^{-1}(x) = \sqrt{\pi} \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{24}\pi x^3 + \frac{7}{960}\pi^2 x^5 + \frac{127}{80\,640}\pi^3 x^7 + \ldots \right), $$ pero no tengo idea de cuántos términos necesito para que converja (algo como 4 lugares decimales estaría bien para mí, pero me gustaría saber la respuesta en general). Alternativamente, ¿hay una mejor manera de calcular esta función?

Answer 1

No soy un experto en la función de error, pero puedo ofrecerte esto. Para que coincida con la serie que has dado, tu $\mathrm{erf}(x)$ debe estar definida con $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ al frente.

Además, el error en cualquier serie, estará en el orden de $t^{n+1}$, donde $n$ es el exponente del último término que incluiste en tu serie. Dado que los términos con potencias pares en esta serie siempre tienen coeficiente $0$, puedes asumir que incluiste un término final cero, por lo que tu error de convergencia estará en el orden de $t$ al siguiente entero impar. Dado que la función de error inversa se dispara hacia $\pm\infty$ en $\pm 1$, y quieres que $\lvert t \rvert^{n+2}<10^{-4}$, la serie convergerá lo suficientemente precisa para ti en el rango: $\lvert t \rvert < 10^{-4/(n+2)}.$ Desafortunadamente, esto no converge muy rápido y necesitarás más y más términos a medida que $\lvert t \rvert$ crezca más y más.

A continuación, he utilizado Mathematica para demostrar que sus funciones integradas son las que estás referenciando y para calcular varios términos más para ti. Según lo que he visto de la función de error (y la dependencia de las funciones integradas en el software), no creo que haya una forma general bonita o simple. (Haz clic en la imagen para ampliarla.)