Encuentra: $\lim\limits_{x\to 0}{x^{\alpha}\int_{x}^{1}{f(t)\over t^{\alpha +1}}dt}$ .

Question

Dejemos que $f$ sea continua en $[0,1]$ y que $\alpha>0$ . Encuentra: $\lim\limits_{x\to 0}{x^{\alpha}\int_{x}^{1}{f(t)\over t^{\alpha +1}}dt}$ . He intentado la integración por partes, pero no estoy seguro de que $f$ es integrable y en qué medida. También se vuelve muy complicado. Además, no estoy seguro de si debo expresar el límite utilizando $f$ o para llegar a una cifra real. Sería bueno si usted puede echar un vistazo.

Usando otras preguntas que tengo: Denotemos $G(x)=\int_{x}^{1}{f(t)\over t^{\alpha +1}}dt$ así que estoy buscando: $\lim\limits_{x\to 0}{x^{\alpha}G(x)}=\lim\limits_{x\to 0}{G(x)\over {1\over x^{\alpha}}}$ . Si $g(t)=\int{f(t)\over t^{\alpha +1}}dt$ Entonces: $G(x)=g(1)-g(x)$ lo que significa: $G'(x)=-g'(x)=-{f(x)\over x^{\alpha +1}}$ . Utilicemos la regla de L'Hôpital: $\lim\limits_{x\to 0}{G(x)\over {1\over x^{\alpha}}}=\lim\limits_{x\to 0}{{G'(x)=-{f(x)\over x^{\alpha +1}}}\over {-\alpha\over x^{\alpha+1}}}=\lim\limits_{x\to 0}{f(x)\over \alpha}={f(0)\over \alpha}$ .

Answer 1

Demasiado largo para un comentario: Desde $f$ es uniformemente continua en $[0,1]$ está acotado en el intervalo, por lo que supongamos $|f| \leq M$ . Ahora, nos ocupamos de esta integral:

\begin {align} & \lim \limits_ {x \to 0} x^{ \alpha } \int_x ^1 \frac {M}{t^{ \alpha + 1} \N - dt \\ & \lim \limits_ {x \to 0} M x^{ \alpha } \left [ - \frac {1}{ \alpha t^{ \alpha }} \right ]_x^1 \\ & \lim \limits_ {x \to 0} \frac {M}{ \alpha } - \frac {M}{ \alpha } x^{ \alpha } \\ &= \frac {M}{ \alpha } \end {align}

Así que la integral está limitada por eso.

Answer 2

Elija $\epsilon > 0$ . Desde $f$ es continua, podemos tomar $\delta \leq 1$ tal que $$m_{\delta}=f(0)-\epsilon < f(t) < f(0)+\epsilon=M_{\delta}$$ en $[0,\delta]$ . Entonces tenemos

\begin {align} \lim_ {x \to 0} x^ \alpha \int_x ^1 \frac {f(t)}{t^{ \alpha +1} \N - dt&= \lim_ {x \to 0} x^{ \alpha } \int_x ^ \delta \frac {f(t)}{t^{1+ \alpha }\}, dt+ \lim_ {x \to 0}x^ \alpha\int_ { \delta }^1 \frac {f(t)}{t^{1+ \alpha }}, dt \\ & \leq\lim_ {x \to 0} x^{ \alpha } \int_x ^ \delta \frac {M_{ \delta }}{t^{1+ \alpha }\a, dt + 0 \\ &= \lim_ {x \to 0} x^{ \alpha } \left ( \frac {M_{ \delta }}{- \alpha \delta ^ \alpha }- \frac {M_{ \delta }}{- \alpha x^ \alpha } \right ) \\ &= \frac {M_{ \delta }}{ \alpha } \end {align} y de forma similar $\lim_{x \to 0} x^\alpha \int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \, dt \geq \frac{m_{\delta}}{\alpha}$ .

Por lo tanto, el límite está acotado por debajo de $\frac{f(0)}{\alpha}-\frac{\epsilon}{\alpha}$ y por encima de $\frac{f(0)}{\alpha}+\frac{\epsilon}{\alpha}$ . Desde $\epsilon$ era arbitraria, se deduce que el límite debe ser igual a $\frac{f(0)}{\alpha}$ .

(Como nota al margen, esta prueba implica que $f$ no tiene que ser continua en todos los $[0,1]$ ; basta con que sea continua en $0$ y es integrable en $[0,1]$ .)