Me han dado lo siguiente como un problema de tarea:
Encuentre una base para el siguiente subespacio de$F^5$:$$W = \{(a, b, c, d, e) \in F^5 \mid a - c - d = 0\}$ $
En este momento, solo he estado adivinando posibles soluciones. Debe haber un método mejor que adivinar y verificar.
¿Cómo resuelvo este y otros problemas similares?
Veamos el siguiente ejemplo:
$$W = \{ (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 \mid a+3b-2c = 0\}.$$
El espacio vectorial $W$ se compone de todas las soluciones $(x,y,z,w)$ a de la ecuación $$x + 3y - 2z = 0.$$
¿Cómo podemos escribir todas las soluciones? Bueno, primero de todo, $w$ puede ser cualquier cosa, y no afectará a ninguna otra variable. Entonces, si dejamos $y$ $z$ ser cualquier cosa que desee, a continuación, que obligará a $x$ y darle una solución. Así que tenemos tres grados de libertad: la libre elección de $w$, libre elección de $z$, y la libre elección de $y$. A continuación, $x$ será forzado. Esto sugiere dimensión $3$.
¿Cómo funciona la opción de $w$ afectan $x$, $y$, y $z$? En ninguna manera. Desde la elección de $w$ no afecta a $x$, $y$, o $z$, esto le da el vector $(0,0,0,1)$: la elección de las $w$ ( $1$ ) no afectará a las demás.
¿Cómo funciona la opción de $z$ afectan $x$, $y$, y $w$? No afecta a $y$$w$. Pero si $z=1$, $x$ tiene que ser $2$: es decir, necesitamos tener dos $x$s para cada $z$. Esto le da el vector $(2,0,1,0)$.
Finalmente, ahora la elección de la $y$ afectan $x$, $z$, y $w$? No afecta a $z$ $w$ (que es gratis), pero para cada $y$, tenemos que tener $-3$ $x$s. Que da el vector $(-3,1,0,0)$.
Así una base para mi $W$ se compone de $(-3,1,0,0)$, $(2,0,1,0)$, y $(0,0,0,1)$. Se puede comprobar que todos ellos se encuentran en los $W$, y que cada vector en $W$ se puede escribir como una combinación lineal de estos tres en una manera única.
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