Generalización de la condición de grupo de automorfismo central a endomorfismos

Question

Dado un grupo de $G$, podemos definir su central automorphism grupo por $$\operatorname{Aut}_c(G)= C_{\operatorname{Aut}(G)}(\operatorname{Inn}(G)) = \{ \phi\in\operatorname{Aut}(G) : \phi(g)g^{-1} \in Z(G) \text{ for all } g\in G \}.$$

Supongamos que tenemos dos grupos finitos $G, H$ con la igualdad de los pedidos, y el grupo de homs $v\colon G\to H$$w\colon H\to G$. Supongamos también tenemos subgrupos $A\leq Z(G), B\leq Z(H)$ $A\cong B$ satisfactorio $A w(H)=G$, $B v(G) = H$. Quiero saber si las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(1) $w(v(g))g^{-1}\in C_G(w(H))$ todos los $g\in G$

(2) $v(w(h))h^{-1}\in C_H(v(G))$ todos los $h\in H$.

Al $G=H$ $v,w$ son auts, estos son el equivalente a decir que las composiciones $v\circ w, w\circ v$ se encuentran en la central automorphism grupo. Y podemos demostrar la equivalencia en este caso. Pero, más en general, la configuración ha eludido a mí. A grandes rasgos, los supuestos a, B puede ser pensado como diciendo: v, w son casi invertible, y 1, 2 quiere decir que son casi inversos. Tenga en cuenta que en el automorphism caso de que un trivial central automorphism fuerzas del grupo v y w para ser recíproca.

El problema, en la comprobación de la segunda de la primera, parece ser que, por $$f(h) = v(w(h))h^{-1},$$ that $f(H) \subseteq C_H(v(G))$. From this it follows that $f$ is a group hom, and thus the second condition. I'm having trouble seeing how to prove this by assuming the first condition. At best I have that $f(h)v(x)f(h)^{-1} = v(x) k$, for some $k\in \operatorname{ker}(w)$ depending on $x,%h $. This follows by applying $w$.

EDIT: Había que añadir que los supuestos de la cubierta del caso de $w=1$. En este caso los nuevos supuestos de fuerza de ambos grupos abelian, y por lo que el 1 y 2 son extremadamente satisfecho.

Answer 1

La idea de la prueba resulta ser para mostrar que $[f(h),v(y)]=1$ para todos los $h\in H$, $y\in G$ en varias ocasiones la reescritura de términos de uso (1), $G= A w(H)$, y $H=B v(G)$. Aquí se define el colector por $[a,b]=ab a^{-1}b^{-1}$.

Por lo tanto, vamos notación como en el enunciado del problema, y supongamos que (1) se mantiene. Entonces podemos escribir $w(v(g)) = c(g)g$ donde $c\colon G\to C_G(w(H))$ es un grupo homomorphism. Específicamente, $c(g) = w(v(g))g^{-1}$; es más sencillo escribir $c(g)$ en la posterior.

El objetivo, como se ha indicado, es mostrar a $[f(h),v(y)]=1$ todos los $h\in H$$y\in G$. Por hipótesis, podemos escribir $h=v(x) b$, para algunas de las $b\in B$$x\in G$. También podemos escribir $x=a w(x')$ algunos $a\in A$$x'\in H$. De ello se sigue que $$\begin{align} f(h)v(y)f(h)^{-1} =& v(w(h))v(x)^{-1} b^{-1} v(y) b v(x) v(w(h))^{-1}\\ =& v(w(h))\cdot v(x)^{-1} v(y) v(x)\cdot v(w(h))^{-1}\\ =& v(w(h))\cdot v(a w(x'))^{-1} v(y) v(a w(x'))\cdot v(w(h))^{-1}\\ =& v(w(h))\cdot v(w(x')^{-1} y w(x'))\cdot v(w(h))^{-1}\\ =& v\left( w(h x'^{-1})\, y\, w(hx'^{-1})^{-1} \right). \end{align}$$ Queremos que esta última expresión a la igualdad de $v(y)$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $[w(hx'^{-1}),y]\in\operatorname{ker}(v)$. De hecho, vamos a mostrar que el $[w(hx'^{-1}),y]=1$.

Podemos escribir $y=c(y)^{-1}w(v(y))$, del que se desprende que $[w(hx'^{-1}),y] = [w(hx'^{-1}),w(v(y))]$. Por definición, tenemos $w(x')^{-1} = x^{-1} a$$w(h) = w(v(x))w(b) = c(b)c(x)xb$. Por lo tanto $$\begin{align} [w(hx'^{-1}),w(v(y))] &= [w(h)w(x')^{-1},w(v(y))]\\ &= [w(h)x^{-1} a, w(v(y))]\\ &= [w(h)x^{-1},w(v(y))]\\ &= [c(b)c(x) xbx^{-1},w(v(y))]\\ &= [c(b)c(x)b,w(v(y))]\\ &= 1, \end{align}$$ estableciendo así el deseado de reclamaciones y el resultado.

Como corolario, se obtiene que el $\ker(w)\leq C_H(v(G))$; lo mismo para $\ker(v)$ por la simetría. Yo no tenía necesidad de que $A,B$ fueron isomorfo, sólo que ellos estaban central (y así no afectar a los conmutadores). Yo también no uso ese $G,H$ fueron finito (o tuvo el mismo orden), sólo que $A w(H) = G$$B v(G) = H$.

Answer 2

Por favor, me permite escribir homomorphisms como exponentes.

• Tenga en cuenta que desde $B \le Z(H)$$H = B G^{v}$,$C_{H}(G^{v}) = Z(H)$, y de manera similar a $C_{G}(H^{w}) = Z(G)$.

• Tenemos $Z(G)^{v} \le Z(H)$, y de manera similar a $Z(H)^{w} \le Z(G)$. Esto es porque si $g \in Z(G)$,$g^{v} \in Z(G^{v}) \le Z(H)$, ya que el $H = B G^{v}$, e $B \le Z(H)$.

• Asumir (1). Deje $h = b g^{v} \in H$, para algunas de las $b \in B$$g \in G$. Entonces \begin{equation} h^{wv} h^{-1} = (b g^{v})^{wv} (b g^{v})^{-1} = b^{wv} b^{-1} (g^{vw} g^{-1})^{v} \in Z(H). \end{equation} Aquí hemos utilizado (1), el hecho de que $b \in Z(H)$, y el punto anterior dos veces.

Como en la respuesta de la OP, sólo estoy usando el hecho de que $G, H$ son grupos, no necesariamente finita, que $v, w$ son homomorphisms, y que $H = B G^{v}$$G = A H^{w}$,$A \le Z(G)$$B \le Z(H)$.