Mi pregunta trata específicamente con ciertas integrales reales indefinidas como$$\int e^{-x^2} {dx} \ \ \text{and} \ \ \int \sqrt{1+x^3} {dx}$ $ Los libros y artículos en línea solo han dicho que no pueden expresarse en términos de funciones elementales. Me preguntaba cómo se podría probar esto? Sé que esta es una forma ingenua de pensar, pero me parece que estos son solo problemas no resueltos, no resueltos.
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Matthew Scouten
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No, estos son teoremas. Ver el algoritmo de Risch . La idea básica es que es posible mostrar que si hay una función elemental con el integrando dado como derivado, debe tener una cierta forma general.
Si nada de esa forma funciona, no hay antiderivada elemental.
El truco es hacer que precisa el significado de "elementary": esencialmente, se trata de funciones que se pueden expresar como finito de combinaciones de polinomios, exponenciales y logaritmos. Es posible, entonces, mostrar (por algebraicamente tedioso disposición de los casos, aunque no necesariamente invocando mucho de los diferenciales de la teoría de Galois - ver, por ejemplo, de Rosenthal papel en la Liouville-Ostrowski teorema) que las funciones de admisión primaria derivados siempre puede ser escrito como la suma de un simple derivado y una combinación lineal logarítmica de derivados. Una consecuencia de esto es la notable criterio de que la (real o complejo) de la función de la forma $x\mapsto f(x)e^{g(x)}$ donde $f, g$ son funciones racionales, admite primaria antiderivada en el anterior sentido si y sólo si, la ecuación diferencial $y'+g'y=f$ admite una solución racional. El problema de mostrar que $e^{x^2}$ y el lote no tienen primaria indefinido integrales entonces es reducido a simple álgebra. En cualquier caso, esto no es un problema sin resolver y no hay mucho misterio a la vez que han visto el material.
