¿Cómo puedo encontrar la solución a la ecuación $z^2=-81i$ ?

Question

Esta pregunta es de la sección Potencias de números complejos, Precálculo de KhanAcademy

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuyo argumento está entre $90°$ y $180°$

$$z^2=-81i$$

Lo que entiendo hasta ahora:

Voy a poner $r$ y $\theta$ para ser el módulo y el argumento de $z$ respectivamente.

Por lo tanto, $z^{ 2 }=r^{ 2 }[cos(2\cdot \theta )+isin(2\cdot \theta )]$

Ahora, puedo entender cómo el módulo es $81$ pero no entiendo cómo se determinó que el argumento es $270°$ más cualquier múltiplo de $360°$ . Estoy bastante confundido en este punto y una pista en la dirección correcta sería lo mejor para ayudarme a descubrir la solución a este problema y a otros similares que encontraré en el futuro.

Answer 1

$$z^2=-81i\Longleftrightarrow$$ $$z^2=|-81i|e^{\arg(-81i)i}\Longleftrightarrow$$ $$z^2=81e^{-\frac{\pi i}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$z=\left(81e^{\left(2\pi k-\frac{\pi}{2}\right)i}\right)^{\frac{1}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$z=9e^{\frac{1}{2}\left(2\pi k-\frac{\pi}{2}\right)i}$$

Con $k\in\mathbb{Z}$ y $k:0-1$

Entonces, las soluciones son:

$$z_0=9e^{\frac{1}{2}\left(2\pi\cdot0-\frac{\pi}{2}\right)i}=9e^{-\frac{\pi i}{4}}$$ $$z_0=9e^{\frac{1}{2}\left(2\pi\cdot1-\frac{\pi}{2}\right)i}=9e^{\frac{3\pi i}{4}}$$

Ahora, fíjate en eso:

$$\color{red}{\frac{\pi}{2}<\arg\left[9e^{\frac{3\pi i}{4}}\right]<\pi\Longleftrightarrow\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{4}<\pi}$$

Así que la respuesta correcta es:

$$9e^{\frac{3\pi i}{4}}=9\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+9\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)i=-\frac{9\sqrt{2}}{2}+\frac{9\sqrt{2}}{2}i$$

Answer 2

Creo que has entendido por qué el módulo es $81$ .

Ahora bien, como $r^2(cos(2θ)+isin(2θ)) = -81i$ claramente, $[cos(2θ)]+[sin(2θ)]i = -i = (0) + (-1)i$ .

Como las partes real e imaginaria del número complejo son independientes, puedes igualarlas para obtener la respuesta.

Por lo tanto, hay que resolver las ecuaciones $$cos(2\theta) = 0,\,\ sin(2\theta)=-1$$

Answer 3

Escriba $-81i$ en forma trigonométrica: $$ -81i=81\cdot(-i)=81\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right) $$ por lo que según De Moivre sus raíces cuadradas son $$ 9\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right) $$ y $$ 9\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\pi\right)+ i\sin\left(\frac{3\pi}{4}+\pi\right)\right) = 9\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right) $$

Desde $\pi/2<3\pi/4<\pi$ La primera es la que estás buscando. Por lo tanto, la respuesta es $$ 9\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Si utiliza grados, $\frac{3\pi}{2}=270^\circ$ y $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ .

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En general, si $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ El $n$ -raíces de $z$ son $$ \sqrt[n]{r}\left( \cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) \right), \qquad k=0,1,\dots,n-1 $$

Answer 4

Recomiendo encarecidamente el uso de la fórmula de De Moivre y la elaboración de gráficos.

Comienza por conseguir papel cuadriculado y rotula tu $x$ -como valores reales de $-100$ a $100$ y etiquetar su $y$ -como valores imaginarios de $-100i$ a $100i$ . (pasar por $10$ para los intervalos).

Coloca el número complejo que intentas elevar al cuadrado en la gráfica.

Mide el ángulo que forma con el positivo $x$ -eje, la línea del eje que apunta a la derecha. La medida del ángulo para cualquier valor real positivo es $0\deg$ naturalmente, y puedes ir a partir de ahí (Nota: medimos nuestros ángulos en sentido contrario a las agujas del reloj)

Ahora, todo lo que hay que hacer para elevar la raíz cuadrada de este número es simplemente "medio el ángulo y la raíz cuadrada la magnitud.

$$\text{magnitude}=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$

En su caso, $|-81i|=81$ , por lo que la raíz cuadrada de eso es $9$ .

Como podemos ver la medida del ángulo es $270\deg$ la mitad de eso es $135\deg$ . Para calcular su valor exacto, la ecuación trigonométrica es la Fórmula de DeMoivre:

$$(a+bi)^n=|a+bi|^n\cdot(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$$

En nuestro caso, $\sqrt{-81i}=(-81i)^{0.5}=81^{0.5}\cdot(\cos(0.5\cdot270)+i\sin(0.5\cdot270))=9(\cos(135)+i\sin(135))=9(-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}2)$

Por último, hay que tener en cuenta que $270\deg=270+360\deg$ porque el extra $360$ es sólo otro giro alrededor del círculo, que termina de nuevo en $270\deg$ . Sin embargo, cuando se media este "nuevo" ángulo, se obtiene un resultado diferente, lo que explica notablemente por qué a veces tenemos $x^2=a\implies x=\pm\sqrt a$ en lugar de $x=\sqrt a$ .

Si quieres saber más sobre cómo se produce la fórmula de DeMoivre, te recomiendo que hagas un gráfico $(1+i)^n$ para $n=0,1,2,3,\dots$ y midiendo la medida y la magnitud del ángulo. (Puedes calcular $(1+i)^3=(1+i)(1+i)(1+i)$ por ejemplo. Sólo el papel de aluminio)