Ecuación de hamburguesas con datos iniciales de protuberancia sinusoidal.

Question

Supongamos que tenemos $u_t + uu_x = 0 $ con

$$ \phi(x) = u(x,0) = \begin{cases} 0, && x \leq 0, x > 1 \\ \sin \pi x, && 0 < x \leq 1 \end{cases} $$

Si queremos definir parámetros de nuestra curva con $\Gamma = (r,0,\phi(r) )$, entonces sabemos que nuestras características están dadas por

$$ x(s) = \phi(r) s + r, \quad t(s) = s, \quad u(r,s) = \phi(r) $$

Por lo tanto, nuestra solución está implícita

$$ u(x,t) = \phi(x - u t ) = \sin (x - ut ) \quad \text{when} \quad ut < x < ut + 1$$

La proyección de características están dadas por

$$ x = \begin{cases} r, && r \leq 0, r > 1 \\ ( \sin \pi r ) t + r , && 0 < r \leq 1\end{cases}$$

aquí incluyo las parcelas de los proyectados en las características de la $t$-$x$ plano

Estoy teniendo alguna dificultad para ver de mi gráfica en qué puntos de la solución de varios valores. A partir de la gráfica parece que cuando se $t=0$ e $x=1$ porque si usted ve en el gráfico la línea con $r=0.9999$ se cruza la vertical $x=1$. ¿Cómo podemos encontrar la solución débil de este pde?

Answer 1

De hecho, la característica de las curvas de $x = \phi(x_0) t + x_0$ a lo largo de la cual $u = \phi(x_0)$ es constante se muestra a continuación:

Hasta que características se cruzan, la solución de la PDE está dada por el método de las características, es decir, mediante la resolución de $u = \phi(x-ut)$ numéricamente (yo no conozco ninguna forma cerrada de la expresión). El tiempo de rotura $t_b$ donde la solución se convierte en multi-valor puede ser calculado como se describe en este post: $$ t_b = \frac{-1}{\inf \phi'} = \frac{1}{\pi} \approx 0.32 . $$ La velocidad de choque $\dot x_s$ satisface la Rankine-Hugoniot condición $$ \dot x_s = \frac{1}{2}\big(\tilde u(x_s,t) + 0\), \qquad x_s(1/\pi) = 1 $$ donde $\tilde u(x_s,t)$ resuelve $\tilde u = \phi(x_s-\tilde ut)$. Por lo tanto, no es fácil de calcular la trayectoria de choque $x_s(t)$ analíticamente en el presente caso. Sin embargo, es posible derivar algunas expresiones analíticas si la sinusoidal bump es reemplazado por un polinomio de relieve, por ejemplo, la parábola $x\mapsto 4x(1-x)$ o triangular en función de $x\mapsto 1-|2x-1|$ se muestra a continuación

Answer 2

Esto es más un comentario que una respuesta, pero no es posible editar con la figura en la sección de comentarios.

Es más fácil ver cuando la solución de $u(x,t)$ hace varios valores en el gráfico de $u(x)$ en varios $t$ que en el gráfico de $x(t)$ en varios $u$ :

Por supuesto, la solución está en la forma de ecuación implícita : $$u=\sin\left(\pi(x-t\,u) \right)$$ Es muy fácil de trazar las anteriores curvas, sin tener $u(x,t)$ explícitamente. El truco está explicado en : la trama de la solución que se convierte en multivalor

Parcela en dos ramas : $\quad x(u)=\frac{1}{\pi}\sin^{-1}(u)+t\,u\quad$ y $\quad x(u)=\frac{1}{\pi}(\pi-\sin^{-1}(u))+t\,u$ .