¿Hom conmuta con tallos localmente libre de poleas?

Question

Esto es algo relacionado con la pregunta ¿por Qué no Hom conmuta con la toma de los tallos?.

Mi pregunta es esta: Si $F$ $G$ son localmente libre de gavillas de $\mathcal{O}_X$ -módulos de manera arbitraria rodeada de espacio $(X,\mathcal{O}_X)$, entonces es el tallo de la Hom gavilla $\mathcal{H}om(F,G)$ a un punto de $p$ igual a $\text{Hom}_{\mathcal{O}_{X,p}}(F_p,G_p)$?

Pregunto esto, porque siento que lo necesito para resolver el Ejercicio 5.1(a) del Capítulo II en Hartshorne. Por la proposición 6.8 del Capítulo III, la respuesta a mi pregunta es afirmativa SI $X$ es un Noetherian esquema, y se mantiene incluso si $F$ es sólo coherente y sin condiciones en $G$, pero su no contesta a mi pregunta, que está suponiendo menos en $X$ y más en las poleas.

En cualquier caso, hay una manera de resolver el ejercicio en Hartshorne, sin ir a los tallos?

Answer 1

Es de suponer que la solución que tiene en mente es este. Hay una natural homomorphism $\newcommand{\E}{\mathcal{E}}\newcommand{\S}{\mathcal{O}}\newcommand{\Hom}{\mathcal{H}om} \E\(\E^\vee)^\vee$. Basta comprobar que este homomorphism es un isomorfismo en cada tallo.

Ese es el enfoque correcto, pero no hay necesidad de ir todo el camino a los tallos. Esto es suficiente para mostrar que en cualquier conjunto abierto $U\subseteq X$ donde $\E$ es realmente libre, el mapa es un isomorfismo. Desde $\E|_U\cong \O_U^n$, es suficiente para comprobar que el natural mapa de $\O^n\to \Hom(\Hom(\O^n,\O),\O)$ es un isomorfismo. Esto es fácil de comprobar, pero requiere que usted para desentrañar el mapa.

Observación: tenga en cuenta que para mostrar dos poleas en $X$ son isomorfos, no es suficiente para encontrar un abierto de la cubierta $X$ y isomorphisms entre las dos poleas en cada conjunto abierto. La razón es que el isomorphisms puede no estar de acuerdo de las intersecciones de los bloques abiertos en la cubierta. Connaturalidad del mapa juega un papel muy importante aquí: asegura que el isomorphisms en la apertura de la tapa se pegue. Para decirlo de otra manera, lo primero que construyeron los morfismos $\E\to (\E^\vee)^\vee$, y , a continuación, comprueba que es un isomorfismo en un abierto de la cubierta. Quiero subrayar que no basta para comprobar que la $\O^n$ $\Hom(\Hom(\O^n,\O),\O)$ son isomorfos, usted debe verificar que el mapa específico $s\mapsto (\phi\mapsto \phi(s))$ es un isomorfismo.

Esta misma observación vale si usted desea utilizar los tallos de enfoque. Primero debe construir el mapa global, y, a continuación, compruebe que induce isomorphisms sobre los tallos. Simplemente mostrando que los tallos son isomorfos no es suficiente. Si fuera así, cualquiera de los dos localmente libre de las poleas del mismo rango sería isomorfo.

Answer 2

Como $F$ $G$ son localmente libre, y como el tallo en $p$ depende sólo de lo que sucede en un abrir barrio de $p$, se puede suponer que la $F$ $G$ son de hecho libre.

En el contexto de que el ejercicio, las poleas son en realidad de rango finito, así que terminamos con $F$ $G$ libre de rango finito. Puesto que todo en la vista es un aditivo functor, aditividad nos permite reducir al caso en que $F$ $G$ son de hecho libre de rango $1$. Entonces, todo es obvia :)