Cuando la intersección de dos conjuntos de segunda categoría es de segunda categoría?

Question

Me gustaría saber si el próximo resultado es cierto.

Proposición: Sea$(X, \tau)$ un espacio compacto de Hausdorff y$A$ un subconjunto denso. Si$(A, \tau_A)$ es un espacio de Baire y$B$ es de segunda categoría en$X$, entonces$A \cap B$ es de segunda categoría en$X$.

Sé que la proposición es falsa si$A$ no es un espacio de Baire. Por ejemplo,$X = [0,1]$,$A = \mathbb{Q} \cap [0,1]$ y$B$ cualquier subconjunto abierto (no vacío). Pero todavía no puedo probar eso.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo asumiendo la hipótesis continua. (Una simple generalización de las obras en virtud de la más débil de la hipótesis, de que la línea real no es la unión de menos de $2^{\aleph_0}$ nada densos conjuntos.)

Deje $X=[0,1]$ con la topología usual.

Reclamo: Usando la inducción transfinita podemos construir subconjuntos $A,B$ $X$ tal forma que:
(1) $A\cap B=\emptyset;$
(2) $A$ $B$ cada uno tiene innumerables intersección con todo abierto no vacío es subconjunto de a $X;$
(3) $A$ $B$ cada uno tiene contables de intersección con cada denso en ninguna parte subconjunto cerrado de $X.$

Prueba: de la Lista de la nada densa, cerrada por subconjuntos de a $X$ en un transfinito secuencia $\langle N_\nu:\ \nu\lt\omega_1\rangle.$ Lista el vacío abierto establece en un transfinito secuencia $\langle U_\nu:\ \nu\lt\omega_1\rangle$ donde cada vacía abrir $U$ se enumeran $\aleph_1$ veces. En el paso $\nu\lt\omega_1$ elegir $$a_\nu,b_\nu\in U_\nu\setminus\left(\{a_\mu:\mu\lt\nu\}\cup\{b_\mu:\mu\lt\nu\}\cup\bigcup_{\mu\lt\nu}N_\mu\right),\ a_\nu\ne b_\nu.$$

Se sigue de (3) $A$ $B$ cada uno tiene contables intersección con todos los de primera categoría subconjunto de $X.$ Claramente, $B$ es de segunda categoría en $X,$ mientras $A\cap B=\emptyset$ es de primera categoría en $X.$

Reclamo: $A$ es un espacio de Baire en su relación de topología.

Prueba: Vamos a $D_1,D_2,\dots,D_n,\dots$ ser cualquier secuencia de denso abierto pone en $A.$ Por cada $n,$ tenemos $D_n=U_n\cap A$ algunas $U_n$ que está abierto en $A.$ por otra parte, desde la $D_n$ es denso en $A,$ que es denso en $X,$ los conjuntos de $D_n$ $U_n$ son densos en $X.$ Por lo tanto $X\setminus U_n$ es un lugar denso conjunto cerrado en $X,$ $M=X\setminus\bigcap_{n=1}^\infty U_n$ es de primera categoría en $X.$ Se sigue que $A\setminus\bigcap_{n=1}^\infty U_n=A\cap M$ es contable. Desde $A$ es "uncountably densa", se deduce que el $A\cap\bigcap_{n=1}^\infty U_n$ es densa.