Intuición o motivación detrás de la definición de homomorfismo - Fraleigh p. 29

Question

p.29: Un binario estructura algebraica es un conjunto $S$ junto con una operación binaria $*$ $S$ y se denota $<S, *>$

p.29: Vamos a $<S,*>$ $<S',*'>$ ser binario, estructuras algebraicas.
Un isomorfismo de $S$ $S'$ es una función de $\phi$ asignación de $S$ a $S'$ tal que
$1. \, \phi$ es uno-a-uno.
$2. \, \phi$ es sobre.
$3. \, \phi$ satisface la homomorphism propiedad: $\phi(x*y) = \phi(x) *' \phi(y)$ todos los $x, y \in S$.

¿Cuál es la intuición o la motivación detrás de la homomorphism propiedad? Todo es de la p. 29 Sección 3, por tanto, antes grupos, subgrupos, ... son introducidos.

Me pareció un isomorfismo es un bijective transformación lineal? ¿Cómo es un homomorphism relativa a una transformación lineal : $T(a\mathbf{v} + b\mathbf{w}) = aT(\mathbf{v}) + bT(\mathbf{w})$, para todos los escalares $a,b$ y vectores $\mathbf{v,w}$ ?

Actualización Dic. 24, 2013 dezign escribió "un homomorphism es una función entre conjuntos que respeta algún tipo de estructura algebraica de los conjuntos ". Pero, ¿cómo llevar esto a $\phi(x*y) = \phi(x) *' \phi(y)$? Todavía se ve raro. Wikipedia párrafo en la intuición no explicarlo. Hace algunos ejemplos.

Answer 1

En algunos enfoques, tales como Fraleigh, es natural definir isomorphisms antes de homomorphisms de modo que uno puede identificar las estructuras que parecen diferentes, pero son realmente la misma. Esto nos lleva a homomorphisms por la relajación de los requisitos de injectiveness y surjectiveness, dejando sólo la importante propiedad de la preservación de la estructura, en el sentido de preservar operaciones correspondientes.

Un bijective transformación lineal es un isomorfismo de espacios vectoriales. Un homomorphism de espacios vectoriales es sólo una transformación lineal, la cual necesita ser ni inyectiva ni surjective.

Answer 2

En general, un homomorphism es una función entre conjuntos que respeta algún tipo de estructura algebraica de los conjuntos (el idioma apropiado aquí es la categoría en la teoría, pero sólo tendremos que adhieren a los conceptos básicos). En el ejemplo que usted ha mencionado, una transformación lineal respeta la estructura de espacio vectorial de un espacio vectorial, es decir, puede realizar el espacio vectorial de las operaciones antes o después de aplicar la función, y aún así obtener la misma cosa. A continuación, esta propiedad puede ser generalizado a un conjunto con algún tipo de operación binaria, es decir, la propiedad que se puede realizar la operación binaria antes o después de aplicar la función y aún así obtener la misma cosa. Funciones con esta propiedad se llama "homomorphisms".

Answer 3

Las condiciones 1) y 2) garantizan que$S$ y$S′$ son 'casi iguales' que los conjuntos. Si están satisfechos, entonces$S$ y$S′$ son isomorfos como conjuntos. Las condiciones 1), 2) y 3) garantizan que$(S,⋆)$ y$(S′ ,⋆′ )$ son 'casi iguales' que las estructuras algebraicas binarias. Si están satisfechos, entonces$(S,⋆)$ y$(S′ ,⋆′)$ son isomorfos como estructuras algebraicas binarias. Se podría decir que 3) (homomorfismo) se encarga de la estructura. He añadido la etiqueta 'categorías'.