Representación geométrica de grupos cuasidiédricos

Question

Estoy repasando el estudio de Dummit/Foote para un preliminar y me encontré con el grupo 'cuasi-diédrico' o 'semi-diédrico', de orden $2^n$ , con presentación $\langle r,s \mid r^{2^{n-1}} = s^2 = 1, srs = r^{2^{n-2}-1}\rangle$ . Me preguntaba si existe una representación de estos grupos, tal vez sólo para el orden pequeño, que sea factible de visualizar. He intentado encontrarla en Internet, pero no he tenido suerte.

Existe el muy similar $M_n(2) = \langle r,s \mid r^{2^{n-1}} = s^2 = 1, srs = r^{2^{n-2}+1}\rangle$ lo cual también me resulta curioso. En particular, me gustaría saber si hay una manera de derivar una vaga comprensión de la geometría de este grupo a partir de los grupos cuasi-diédricos de presentación similar anteriores.

Gracias.

Answer 1

La geometría de estos grupos se ve mejor a través de sus respectivas acciones en el grafo de Cayley. La siguiente animación muestra la acción izquierda de $r$ en el grafo de Cayley de $M_5(2)$ :

Las aristas negras corresponden a la multiplicación por la derecha de $r$ y deben orientarse en sentido contrario a las agujas del reloj en ambos círculos. Las aristas rojas y azules corresponden a la multiplicación derecha por $s$ . La acción de la izquierda de $s$ es una reflexión a través de un plano horizontal que invierte ambos círculos.

El grafo de Cayley del grupo cuasi-diédrico de orden 32 es en realidad el mismo grafo, con la misma acción izquierda de $r$ . La única diferencia es que los bordes negros de uno de los dos círculos deben estar orientados en el sentido de las agujas del reloj, y la multiplicación a la izquierda por $s$ actúa como $180^\circ$ rotación alrededor de un eje horizontal en lugar de una reflexión.

Esta geometría de "dos círculos que giran a diferente velocidad" se refleja en las representaciones lineales. El grupo cuasi-diédrico de orden $2^n$ tiene una representación compleja bidimensional fiel: $$ r \mapsto \begin{bmatrix}\omega & 0 \\ 0 & -\overline{\omega}\end{bmatrix},\qquad s\mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, $$ donde $\omega$ es una primitiva $2^{n-1}$ raíz de la unidad. Nótese que $r$ actúa como una rotación de cada componente de un vector, mientras que $s$ cambia las dos componentes de un vector. Si se ignora la estructura compleja, se obtiene una representación real fiel de cuatro dimensiones.

El grupo $M_n(2)$ tiene una representación compleja bidimensional fiel similar: $$ r \mapsto \begin{bmatrix}\omega & 0 \\ 0 & -\omega\end{bmatrix},\qquad s\mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, $$ De nuevo, esto conduce a una representación real de cuatro dimensiones.