Las asignaciones de la asignación de los grupos de la clase

Question

Deje $X$ ser un pacto de no-orientable de la superficie, tal vez con límite, y deje $\tilde X$ ser la orientación de la cubierta de $X$. Si entiendo correctamente, cualquier liso automorphism de $X$ elevadores de forma natural a un automorphism de $\tilde X$ (desde $\tilde X$ puede ser considerada como el espacio de las parejas (un punto de $x$$X$, una orientación de $T_xX$)). Por otra parte, la composición de los ascensores de la composición isotópica de automorfismos de elevación a isotópica de automorfismos. Así obtenemos un mapa de $MCG(X)\to MCG(\tilde X)$ donde $MCG$ representa la asignación del grupo de clase. (En la definición de la asignación de los grupos de la clase no requerimos que los mapas o isotopies debe ser la identidad en la frontera.)

1. Hay una manera simple de describir el núcleo de el mapa de arriba?

2. Es cierto que la clase de asignación de grupo de un no-orientable superficie inyecta en la clase de asignación de grupo de algunos orientable de la superficie (no necesariamente la orientación de la cubierta)?

3. (un poco relacionado pregunta que, no obstante, consiste en la asignación de los grupos de la clase) Es cierto que la asignación de grupo de clase de una superficie orientable sin límite inyecta en la clase de asignación de grupo de algunos orientable superficie con límite?

Answer 1

3) es un problema abierto. Con la notación como en los comentarios de Ryan post, si $n=1$ $g$ es de al menos dos, entonces no hay ninguna incorporación, como cada subgrupo finito de que el objetivo es cíclico. Si $n=0$, entonces no es un $g'$ y una inyección, ver Aramayona, Leininger, Souto, las Inyecciones de la asignación de los grupos de la clase, Geometría Y Topología 13 (2009) 2523--2541. También tiene referencias a lo que se conoce.

Answer 2

Su pregunta (1) es bastante clásica -- el Birman Hilden Anales de papel a partir de 1973, esencialmente respuestas, no? Quiero decir, que no tiene que lidiar con el no-orientable caso en su papel, tan lejos como puedo recordar, pero las técnicas de trabajo.

Re (3), su noción de la asignación de grupo de clase para una superficie con límite suelen ser llamado a la clase de asignación de grupo de una superficie cerrada con puntos marcados, en la literatura con el que estoy familiarizado, denota algo como $MCG(X,n)$ para una superficie cerrada $X$ $n$ puntos marcados en su caso ellos serían círculo límite de componentes.

En ese sentido, existen extensiones ($X$ un sin fronteras de la superficie)

$\pi_1 Diff(X) \to \pi_1 C_n X \to MCG(X,n) \to MCG(X) \to 0$

$C_n(X)$ es el espacio de configuración de $n$ puntos en la superficie de la $X$.

$\pi_1 Diff(X)$ suele ser trivial, pero hay algunos que no trivial casos como el toro, la esfera de $\mathbb RP^2$, la botella de Klein. Algunos de estos casos especiales darle inyectividad $MCG(X,n) \to MCG(X)$ $n$ pequeños, pero no muchos.

De todos modos, es un natural de mapa y con frecuencia es útil. Son realmente los más interesados en saber exactamente cuando hay una incrustación o no, o están más interesados en las relaciones generales? es decir: ¿tienes una razón para querer saber la respuesta a estas preguntas?

Answer 3

La segunda de sus preguntas se responde en

Graham Esperanza y Ulrike Tillmann "En el Farrell cohomology de la clase de asignación de grupo de no-orientable superficies" Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 137 (2009), no. 1, 393--400.

como Lema 2.1, utilizando los resultados de Birman y Chillingworth. Puede ser realizado como un subgrupo de la clase de asignación a un grupo de orientación de la cubierta. Yo creo que la inyección es inducida por la de "levantar diffeomorphisms a la orientación de la cubierta" del mapa, que responde a la primera pregunta también.

Answer 4

Usted debe tener una mirada en el papel http://www.springerlink.com/content/xkf2bqn5p7bndcrd/ que se ocupa de la nonorientable superficies con límite.