Pregunta sobre incrustaciones en campos algebraicamente cerrados

Question

Estaba mirando las dos siguientes proposiciones bien conocidas:

$1$ ) Deja que $E|F$ sea una extensión separable finita de grado n, y sea $\sigma$ sea una incrustación de $F$ en $C$ , donde $C$ es un cierre algebraico de $E$ . Entonces $\sigma$ se extiende exactamente hasta $n$ incrustaciones de $E$ en $C$ ;

$2$ ) La extensión $E|F$ es normal si y sólo si cada $F$ -monomorfismo de $E$ en un cierre algebraico $C$ es en realidad un $F$ -automorfismo de $E$ .

Observando las pruebas, me parece que en realidad en lugar de $C$ podemos elegir cualquier campo algebraicamente cerrado $L$ que contiene $F$ (no es necesario suponer que también contiene $E$ en estas proposiciones, ¿verdad?) $\textbf{in both propositions}$ .

¿Es correcto? (No estoy tan seguro de la propuesta 2)). Lo que estoy pensando, es la situación típica en la teoría de números donde tienes $\mathbb C$ en lugar de $C$ . En general $\mathbb C$ no es el cierre algebraico de $E$ sino sólo un campo algebraicamente cerrado. Entonces, ¿por qué en muchos textos los autores ponen cierre algebraico en lugar de simplemente campo algebraicamente cerrado?

Answer 1

Porque los cierres algebraicos son intrínsecos en términos del campo, y cualquier campo algebraicamente cerrado suele significar que hay alguna estructura topológica. Por ejemplo, con $\Bbb C$ vs $\overline{\Bbb Q}$ este último es puramente algebraico en términos de los polinomios sobre $\Bbb Q$ pero si quieres demostrar un resultado sobre incrustaciones como este prefieres en $\overline{F}$ en lugar de $L\supseteq\overline{F}$ . Porque a menudo hay muchas opciones para tal $L$ y no quieres escribir una prueba separada para todos los casos. No querría demostrar este resultado dos veces diferentes una para, por ejemplo. $\Bbb C$ y otro para $\overline{\Bbb Q_2}$ . Y si estoy tratando con un campo de característica positiva, obviamente algo como $\Bbb C$ ni siquiera está disponible para mí.